La Integración Radial Campos Vectoriales

Question

Dada una integral $$\int_vd^3{r} \;\vec{r}\;\rho(r)$$ y ¿Cómo se puede convertir a un sistema de coordenadas esféricas, señalando que $\rho(r)$ es de hecho como está, sin vector, es decir, es esféricamente simétrica $\rho(\vec{r})=\rho(r)$.

$$\int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}\int_o^\pi \dots \rho(r)r^2\sin(\phi)d\phi d\theta dr$$

Supongo que todo lo que tengo que hacer es convertir $\vec{r}$ de radial del vector sistema de coordenadas sistema de coordenadas esféricas. Pero, estoy atascado.

AGREGÓ No debería ser $v$. $$\int d^3{r} \;\vec{r}\;\rho(r)$$

En realidad, se me pidió para calcular el momento dipolar en este caso.

Answer 1

La integral de un vector, como se ha escrito, es sólo la notación abreviada para un vector de integrales. Concretamente, si escribimos $\vec r= (x,y,z)$ en coordenadas cartesianas, a continuación, \begin{align} \int d^3r\, \vec r\,\rho(r) &= \left(\int d^3 r\, x\,\rho(r),\int d^3 r\, y\,\rho(r),\int d^3 r\, z\,\rho(r) \right) \end{align} Ahora, sencillamente, se nota la transformación entre coordenadas cartesianas y esféricas en coordenadas, y usar esto para evaluar cada uno de estos componentes integrales. En la convención para $\phi$ $\theta$ como la polar y azimutal coordenadas respectivamente, tenemos \begin{align} x = r\sin\phi\cos\theta, \qquad y = r\sin\phi\sin\theta, \qquad z = r\cos\phi \end{align} así tenemos, por ejemplo, \begin{align} \int d^3 r\, x\,\rho(r) = \int dr\,d\phi\,d\theta \,(r^2\sin\phi)(r\sin\phi\cos\theta)\rho(r) \end{align} y lo mismo para los otros componentes.