Evaluar $\sum_{k=2}^{\infty}\left(\sum_{n=2}^{\infty} {1 \over k^n}\right)$

Question

Estoy tratando de evaluar

$$\sum_{k=2}^{\infty}\left(\sum_{n=2}^{\infty} {1 \over k^n}\right)$$ Primera observación: ${1 \over k^n} < 1$. Así, en el límite, la suma de $p$ primeros términos del interior de la suma es $$\lim \limits_{p \to \infty}\left({1 \over k^2}{1 - {1 \over k^p} \over 1 - {1 \over k}}\right) = {1 \over k^2}{1 \over 1 - {1 \over k}} = {1 \over k(k - 1)}$$ El exterior suma ahora este aspecto $$\sum_{k=2}^{\infty}{1 \over k(k - 1)} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 12} + {1 \over 20} + \dots$$ Sabemos que ${1 \over k^2}$ converge, por lo que la nueva suma se reunirán así. ¿Tiene usted alguna idea de cómo encontrar la suma?

Answer 1

Sugerencia:

$$ \frac{1}{2}+ \color{blue}{\frac{1}{6}}+ \color{red}{\frac{1}{12}+} \color{verde}{\frac{1}{20}}+...=\frac{1}{2}+ \color{blue}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ \color{red}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}+ \color{\verde}{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}+... $$

que es un ejemplo para un telescópico de la serie

Btw: que han demostrado que $\sum_{n\geq1}(\zeta(n)-1)=1$, felicitaciones :)