Secuencias cuyas diferencias tienden a $0$

Question

Supongamos $f(1,i)>0$ es estrictamente una disminución de la secuencia de reales.
Deje $f(k+1,n)=f(k,n+1)−f(k,n)$.

Si $f(2m+1,n)$ es para todos los enteros $m$, estrictamente una función decreciente en $n$ $\lim_{n\rightarrow\infty}f(2m+1,n)=0$ debe $\sum_{n>1}f(1,n)<\infty$?

Answer 1

Como contraejemplo de que usted podría tomar $f(1,n)=1/n$$n\geq 1$. El uso de la inducción se puede demostrar que $$f(k,n)=\frac{(-1)^{k+1}}{n\cdot\ldots\cdot(n+k-1)}$$ Entonces claramente $f(2 m+1,n)$ es estrictamente decreciente en a $n$ $m\in\mathbb{N}$ $\lim_{n\rightarrow\infty}f(2m+1,n)=0$ pero $\sum_{n>1}f(1,n)$ es divergente.

Answer 2

Los pensamientos; la serie armónica diverge de manera que considere f(k,n) = g(k)/n donde g es una secuencia que no crecen demasiado rápido, etc como que el aditivo restricción se mantiene.

Que estoy adivinando esto no es cierto.