Si tengo los números $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ escritas en ese orden, ¿de cuántas maneras puede el $10$ dígitos se anoten para que no incluso dígito está en su posición original?
Parece que puedo moverlo reescribiéndolo a partir de $0$ en $9!$ maneras, y lo mismo con $2,4,6,8$ por lo que la respuesta es $5*9!=1814400$ ¿Es correcto?
Como sugirió Robert Israel, he aquí una solución que utiliza la Inclusión-Exclusión:
Sea S el conjunto de todas las disposiciones de los dígitos, y para $1\le i\le5$
deje $A_i$ sea el conjunto de disposiciones con el $i$ ª cifra par en su posición original.
Entonces $|{A_1}^{c}\cap \cdots \cap {A_5}^{c}|=|S|-\sum|A_i|+\sum|A_i\cap A_j|-\sum|A_i\cap A_j\cap A_k|+\cdots$
$=10!-\binom{5}{1}9!+\binom{5}{2}8!-\binom{5}{3}7!+\binom{5}{4}6!-\binom{5}{5}5!=2,170,680.$
Sea $r(m,n)$ sea el número de maneras de colocar $m$ objetos, con $n$ de ellos obligados a no ir en una posición determinada, donde el $n$ posiciones particulares son todas diferentes. Entonces tenemos $r(m,0)=m!$ (obviamente), $r(m,1)=(m-1)(m-1)!$ (porque podemos colocar el objeto restringido en $m-1$ y el resto sin restricciones), y $$r(m,n)=(n-1)r(m-1,n-2)+(m-n)r(m-1,n-1)$$ Podemos colocar un objeto restringido en un lugar bloqueado a otro objeto ( $n-1$ posibilidades), entonces el resto en $r(m-1,n-2)$ maneras, o podemos colocarlo en uno de los lugares donde puede ir cualquier objeto y el resto puede colocarse en $r(m-1,n-1)$ formas. Calculando, obtenemos $r(10,5)=2170680$ .
Pista: Principio de inclusión-exclusión . Para un conjunto de $k$ dígitos pares, ¿cuántas permutaciones hay en las que esos dígitos son en sus posiciones originales?
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¿Y todas las formas de colocar los dígitos impar?
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@Null Perdón quise decir que ningún dígito par puede estar en posición original
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Sí, lo sé. Pero una vez elegidos los lugares para los 5 dígitos pares, puedes disponer los 5 dígitos Impares en múltiples lugares. Por ejemplo: 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 es una disposición que funciona, pero 7 0 1 2 3 4 5 6 9 8 también funciona. Las dos secuencias son idénticas, salvo que he intercambiado el 7 y el 9. No cuentas estos dos casos.
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@Null creo que sí, tengo mis pares evitan sus casas, y luego el resto se ordenan por los factoriales?
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Los factoriales están ordenando los 5 dígitos pares pero necesitas ordenar los 5 dígitos Impares también. Una vez ordenados los dígitos pares, hay 5 lugares para poner el 1, 4 lugares para poner el 3, 3 lugares para poner el 5, etc. Aun así, creo que puedes estar contando doble algunas de las colocaciones de los dígitos pares. Por ejemplo, si colocas el 0 donde estaba el 2, entonces puedes colocar el 2 en cualquiera de los 9 lugares restantes. Pero si lo colocas en otro lugar sólo puedes colocar el 2 en 8 lugares -- no donde está el 0 y no en su lugar original.