¿El dualizing proceso en espacios vectoriales necesariamente terminar?

Question

Bien es sabido por todos (suponiendo que el axioma de elección) que la inclusión $\ell^1 \subset (\ell^1)^{**}$ es adecuado como un simple corolario de la de Hahn-Banach teorema. Pero es este el final de la dualizing proceso; por ejemplo, qué $(\ell^1)^{**} = (\ell^1)^{****}$, o hemos de seguir para obtener la más difícil de manejar espacios vectoriales a lo largo del tiempo? Si este proceso no terminar, hay un no-trivial (es decir, no 'reflexiva') afección sobre espacios vectoriales $V$ tal que, para algunos lo suficientemente grande $n$, $V^{2n*}=V^{(2n+2)*}$?

En un tema similar, si negamos el axioma de elección, sabemos que $(\ell^1)^{**}=\ell^1$ (fuente). En este caso, ¿ también tenemos $V^{**}=V$ todos los $V$?

Answer 1

Curiosamente, hay dos posibilidades: un espacio de Banach es reflexivo o su cadena de doble duales nunca termina. Esto sólo utiliza un par de hechos: $(1)$ un espacio de Banach es cerrado en su doble y $(2)$ un subespacio cerrado de un reflexivo espacio vectorial es el reflexivo. $(1)$ es un hecho acerca de cualquier completar el subespacio de un espacio métrico.

Aquí es $(2)$, supongamos $X\subset B$ es cerrado y $B=B^{**}$. Entonces cualquier elemento $\xi$ $X^{**}$ corresponde a un elemento $\xi_B$ $B^{**}$ actuando en $L\in B^*$ por restricción, $\xi_B(L)=\xi(L|_X)$. Por otro lado, ya $B$ es reflexiva $\xi$ corresponde de forma exclusiva a $x\in B$, $\xi_B(L)=\xi(L|_X)=L(x)$. Esto muestra que si $L$ se desvanece en $X$, $L(x)=0,$ así que desde $X$ se cierra $x\in X$.

Así, supongamos $X$ es un espacios de Banach y su cadena de doble dobles eventualmente se estabiliza, decir la $n$th doble doble es isomorfo a la $n+1$pt. A continuación, el $n$th doble doble es el reflexivo, y de ser un subespacio cerrado, por lo que es $X$ sí.

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Yo iba a evitar comentar en el conjunto teórico de la parte de tu pregunta, ya que no sé mucho acerca de las alternativas para el axioma de elección. Pero habiendo comprobado el enlace de la respuesta, que no es, de hecho está ahí: en Zermelo-Frankel la teoría de conjuntos con el dependiente de la elección y el axioma de que todos los conjuntos de números reales tiene la propiedad de Baire, que el doble doble de la de $(\ell^\infty/c_0)^{**}=0$. Pero ciertamente no se requiere el axioma de elección para mostrar que hay delimitada secuencias que no converge a cero!!! Por lo $\ell^\infty/c_0\neq 0$, incluso en ese sistema, y en ausencia de elección de un espacio de Banach no necesita incluso incrustar en su doble doble.

Answer 2

Me permiten un comentario sobre el axioma de elección relacionadas con la pregunta.

Primero de todo, está lejos de ser cierto que " si negamos el axioma de elección, sabemos que $(\ell^1)^{**}=\ell^1$". Que es consistente con el fracaso del axioma de elección, pero ciertamente no es "true si negamos el axioma de elección". Podemos tener una situación en la $\Bbb R$ puede ser bien ordenado, y aun así el axioma de elección falla en la más aguda maneras; o podemos tener, incluso, $\Bbb R$ no puede ser bien ordenado, pero el de Hahn-Banach teorema sostiene, en cuyo caso $\ell^1\subsetneq(\ell^1)^{**}$.

Y el segundo punto, es nunca el caso de que cada espacio vectorial $V^{**}=V$. Tenga en cuenta que dado cualquier ordinal $\alpha$, podemos mirar a la suma directa de $\alpha$ copias de $\Bbb R$, y dotar a este con una norma (el máximo valor absoluto de cero el coeficiente de un vector en una base, por ejemplo). El dual será estrictamente mayor, como se puede mostrar a través de diagonalización. Tenga en cuenta que esto no es necesariamente un espacio de Banach, aunque.

Si insistimos en espacios de Banach, entonces, podemos observar la siguiente:

• Si $(\ell^1)^{**}=\ell^1$$(\ell^\infty/c_0)^*=\{0\}$, mientras que $\ell^\infty/c_0\neq\{0\}$, y claramente el doble de $\{0\}$ es sólo $\{0\}$.
• De lo contrario, $\ell^1\neq(\ell^1)^{**}$ y hemos terminado.

En general, si uno permite considerar el dual algebraico (desde el doble continua requiere de una topología), a continuación, también puede darse el caso de que un infinito dimensional espacio vectorial es isomorfo a su doble (por ejemplo, en el caso de que todos los funcionales son automáticamente continua, el dual topológico y algebraicas dual son los mismos para los espacios de Banach); o podemos tener espacios vectoriales cuyo doble es igual a cero. De hecho, podemos tener espacios vectoriales que no puede ser topologized en un sentido no trivial.