Mapa de cobertura de $p\colon X \to S_1 \vee S_1$ .
X=
Sé que los grafos infinitos con cuatro aristas incidentes en cada vértice se pueden orientar en 2, pero no creo que esto me ayude.
También necesito averiguar $\pi_1(X)$ después. Así que no puedo usar esto en lo anterior.
Etiquetar los bordes en $X$ con un $a$ si son un borde "exterior" o un $b$ si se trata de un borde "interior". Asigna cada arista a la arista correspondiente de $S^1_a\vee S^1_b$ de la forma obvia (la orientación no importa). Esto es claramente continuo y suryectivo.
La preimagen de una pequeña vecindad del punto de cuña son cinco copias disjuntas de un espacio que se parece a la letra "X".
La preimagen de cualquier otro vecindario abierto pequeño se parece a cinco copias disjuntas de un intervalo abierto.
Por lo tanto, el mapa satisface la propiedad de homeomorfismo local y es un espacio de cobertura.
La identificación de los bordes cambiaría el tipo de homotopía. ¿Conoces el resultado de que si cotejas un grafo conexo con un subárbol máximo, se obtiene una cuña de círculos? Dicho cociente puede formarse como una equivalencia homotópica. Por tanto, encuentra un subárbol máximo y calcula lo que queda después de hacer el cociente por él.
Mira una bolita alrededor de cualquiera de los vértices: parecen cuatro intervalos semiabiertos pegados por sus extremos cerrados, es decir, una letra "X". No sé si me explico lo que quieres decir con "la arista inferior, las 2 diagonales que están por encima de todo lo demás y las 2 aristas de la derecha", pero deberías darte cuenta de que un subárbol máximo tiene cuatro aristas (hay muchos subárboles máximos). Parece que has dado algo con cinco aristas, que no sería un árbol.
Te refieres a los bordes $[1,3]$ , $[3,5]$ y $[2,4]$ ? Ahora son sólo tres aristas, y eso no es un árbol (ya que no está conectado). ¿Qué tal sólo $[1,2],[1,3],[1,4],[1,5]$ ?
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Si toma $X$ e identificar todas las esquinas como un punto, ¿no se obtiene la cuña de $10$ ¿Círculos? Debería ser posible asignar cinco de ellos a cada uno de los dos círculos de la figura en ocho. $S^1\vee S^1$ sin ningún problema, a menos que me esté perdiendo algo.
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Porque hay diez aristas en $X$ que después de la identificación comienzan y terminan en el mismo punto.