Cómo encontrar el número de raíces reales de una ecuación trascendental?

Question

El número de raíces reales de la ecuación $$2\cos\left(\frac{x^2+x}6\right)=2^x+2^{-x}$$

Otra pregunta es... podemos utilizar la regla de descartes de firmar aquí, o en cualquier trascendental ecuación ?

Answer 1

El lado derecho,

$$2^x + 2^{-x}$$

es una función que tiene un único valor mínimo de $2$$x = 0$. El lado izquierdo,

$$2\cos \left( \frac{x^2+x}{6}\right)$$

ha $2$ de su valor máximo. Tan sólo hay un candidato, y la inspección de la muestra que es de hecho una solución.

Answer 2

Tenga en cuenta que $2^x+2^{-x}$ tiene que estar en el intervalo de $[-2,2]$ a cancelar el lado izquierdo. Pero la imagen de $2^x+2^{-x}$$[2,\infty)$, por lo que sólo tiene que revisar el caso al $2^x+2^{-x}=2$, y la única solución es al $x=0$.

Answer 3

Observe que

$$2\cos\left(\frac{x^2+x}6\right) \le 2$$ $$2^x+2^{-x} \ge 2$$

La primera es verdadera desde $\cos\left(\frac{x^2+x}6\right) \le 1$ y la segunda es equivalente a $\left(2^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2^{\frac{x}{2}}} \right)^2 \ge 0$, lo que siempre es cierto. Así que para tener una igualdad de la segunda desigualdad también tiene que ser una igualdad y ocurre sólo cuando $2^{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{x}{2}}} \leftrightarrow2^x=1\leftrightarrow x = 0$.