¿Existe un sistema continuo de $f:\Bbb R^2\to\Bbb R$ no es expresable como una suma finita $f(x,y)=\sum_i g_i(x)h_i(y)$ ?

Question

Esto parece que debería ser muy trivialmente falso, pero estoy luchando por encontrar algún criterio que se mantenga para todas las funciones $\sum_i g_i(x)h_i(y)$ que no es válida para todos los continuos $\Bbb R^2\to\Bbb R$ y no he conseguido construir ningún contraejemplo evidente.

Answer 1

Dado $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y cualquier $a\in\mathbb{R}$ existe una función $f_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dado por $f_a(y)=f(a,y)$ . Si $f(x,y)=\sum_i g_i(x)h_i(y)$ entonces $f_a$ es un $\mathbb{R}$ -combinación lineal de las funciones $h_i(y)$ para cada $a$ . Así que si tienes alguna función $f$ tal que infinitamente muchas de las funciones $f_a$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ no se puede escribir de esta forma. (De hecho, si sólo se habla de funciones arbitrarias y no se tienen restricciones como la continuidad, lo contrario también es válido: si el tramo de las funciones $f_a$ es de dimensión finita, es posible escribir $f(x,y)=\sum_i g_i(x)h_i(y)$ . Simplemente tome el $h_i$ para ser la base de la extensión de la $f_a$ y que $g_i(a)$ sean los coeficientes de $f_a$ para esta base).

Por ejemplo, tome $f(x,y)=|y|^{x^2+1}$ . Como un polinomio distinto de cero sólo puede tener un número finito de raíces, las funciones $|y|^n$ son linealmente independientes cuando $n$ se extiende sobre los números naturales. Se deduce que las funciones $f_a(y)$ son linealmente independientes cuando $a$ abarca los números naturales, por lo que $f$ no puede escribirse en la forma $\sum_i g_i(x)h_i(y)$ .