¿Un anillo conmutativo finito tiene necesariamente una unidad?

Question

Hace un finito conmutativa anillo de tener necesariamente una unidad? Lo pregunto porque de la siguiente teorema dado en mis notas de la conferencia:

En un número finito de anillo conmutativo todos los no-cero-divisor es una unidad.

Si hubiera dicho "finito anillo conmutativo con unidad..." no habría ninguna pregunta, entiendo que parte. Lo que te estoy preguntando es sobre si podemos o no podemos omitir explícita porque se desprende de la finitud de nuestro anillo conmutativo.

[Aclaración] La forma en que estoy aprendiendo anillo de la teoría de ahora, un "anillo" se define como un aditivo Abelian grupo más equipado (espero que el uso de la terminología correcta) con un asociativa de la multiplicación de la operación de la que se distribuye sobre la suma. En esta definición que no requieren de la existencia de 1.

En otras palabras, cuando digo "anillo" me refiero a un generador de números aleatorios.

Answer 1

Deje $A$ ser un número finito de anillo conmutativo (no se supone que contienen una identidad). Supongamos que $a \in A$ no es un cero-divisor. A continuación, la multiplicación por $a$ induce una inyección de $A$ a sí mismo, que es necesariamente un bijection, ya $A$ es finito. Por lo tanto la multiplicación por $a$ es una permutación del conjunto finito $A$, y por lo tanto la multiplicación por algún poder de $a$ (que por la asociatividad es el mismo que algún poder de la multiplicación por $a$) es la identidad de permutación de $A$. Es decir, algún poder de $a$ actúa como la identidad en la multiplicación, es decir, se trata de una (y de ahí la) multiplicativo de identidad de $A$.

En resumen, si un número finito de anillo conmutativo $A$ contiene un cero divisor, entonces necesariamente contiene una identidad, y todos los no divisor de cero en a $A$ es una unidad.

Answer 2

Jajaja Considerar el ideal generado por $2$ $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.$

Answer 3

La manera habitual en la actualidad es la construcción de la existencia de una identidad multiplicativa en la definición de anillo conmutativo. Sin embargo, el resultado es correcto, incluso si no lo hace.

Esto es no , porque la existencia de una identidad multiplicativa de la siguiente manera a partir de la finitud. Como ya se ha publicado ejemplos muestran, si no se puede construir un "$1$" en la definición de anillo, hay anillos finitos con el no $1$.

Sin embargo, si incluso hay uno que no divisor de cero, entonces es fácil probar que un número finito de anillo debe tener un $1$. Así se puede decir que en un número finito de anillo, cada objeto distinto de $0$ es un divisor de cero, o hay una identidad multiplicativa.

Answer 4

En cualquier aditivo abelian grupo se puede definir una idéntica a cero operación de multiplicación. Tomando el grupo no trivial pero finito da un ejemplo de un número finito de números aleatorios sin la unidad. (Tenga en cuenta que jspecter el ejemplo de este formulario.)

Por otro lado cualquier ideal en un anillo da un ejemplo de un generador de números aleatorios, pero uno tiene que ser un poco cuidadoso aquí: algún otro elemento podría actuar como una identidad en el ideal. Este problema se puede evitar mediante la elección de los anillos sin trivial idempotente elementos, un buen ejemplo es cualquier anillo local. (Esto nos lleva de nuevo a jspecter del ejemplo).

[Nota de que el "rng" de arriba no es una errata: es más bien un término estándar para la algebraicas objeto que satisface todos los axiomas de un anillo, salvo la existencia de una identidad multiplicativa. El punto es que la gran mayoría de los matemáticos de hoy en día entendemos por "anillo" de un objeto que tiene una identidad multiplicativa y por un "anillo homomorphism" un mapa de la preservación de la identidad. Tuve que contenerme de responder, "Sí, cada anillo tiene una unidad, por definición."]

Answer 5

Si todos los elementos del anillo son cero divisores, es falso.