El cálculo de los residuos de polo de orden $2$

Question

Hay una buena manera de calcular el residuo de $f(z)=\dfrac{1+z}{1-\sin z}$$z=\pi/2$, que es un polo de orden $2$?

Utilizando el residuo de la fórmula de cálculo de los rendimientos de

$$\text{Res}_{z=\pi/2}f(z)=\lim_{z\rightarrow\pi/2}\dfrac{d}{dz}\left(\left(z-\dfrac\pi2\right)^2f(z)\right)$$

La derivada es bastante feo, y calcular el límite requiere de L'Hospital, probablemente dos veces (o más). El cálculo es demasiado. Hay una manera mejor?

Answer 1

Considerar el residuo de $f(z)/g(z)$ en los dos polos de $z=a$. Debido a $a$ es un doble cero de $g(z)$, escribir

$$g(z) = (z-a)^2 p(z)$$

donde $p(a) \ne 0$ y es analítica, etc. etc.

Entonces

$$\operatorname*{Res}_{z=a} \frac{f(z)}{g(z)} = \left [\frac{d}{dz} \frac{f(z)}{p(z)} \right ]_{z=a}$$

Ahora,

$$\frac{d}{dz} \frac{f(z)}{p(z)} = \frac{f'(z) p(z)-f(z) p'(z)}{p(z)^2}$$

También, tenga en cuenta que

$$g(z) = \frac12 g''(a) (z-a)^2 + \frac16 g'''(a) (z-a)^3+\cdots = p(a) (z-a)^2 + p'(a) (z-a)^3+\cdots$$

Por lo tanto

$$p(a) = \frac12 g''(a)$$

y

$$p'(a) = \frac16 g'''(a)$$

Así

$$\operatorname*{Res}_{z=a} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{6 f'(a) g''(a) - 2 f(a) g'''(a)}{3 [g''(a)]^2}$$

En su caso, $f(z)=1+z$$g(z)=1-\sin{z}$. El residuo de a $z=\pi/2$ luego $2$.

Answer 2

Mi otra respuesta (y Antonios arriba) requiere el conocimiento de encontrar polos a través de Laurent de la serie, que supuse que han hecho (espero!), pero es posible que no te hayas. En su lugar, usted puede utilizar que al $f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$ tiene un polo en $z=z_0$ donde $p(z)$ $q(z)$ son analíticas en cualquier barrio de $z_0$, usted tiene $Res(f;z=z_0) = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}$. Si, como en este caso, $q'(z_0)=0$, usted tiene que cambiar esta fórmula. Fue derivado de la serie de Taylor de $p(z)$$q(z)$$z=z_0$. Por lo tanto, podemos tomar el siguiente orden término, es decir,$Res(f,z=z_0) = \frac{p'(z_0)}{q''{z_0}/2!}$. Aquí tienes ese caso y se puede aplicar esta fórmula muy bien, pero es importante ver de dónde viene que es el residuo de la de la serie de Laurent como se ha descrito antes.