Canónica de isomorfismo entre Cauchy secuencia de finalización y el límite inversa

Question

Estoy estudiando el capítulo 10 de Atiyah Macdonald. El libro presenta dos maneras de construir la realización de un abelian topológico grupo: clases de Equivalencia de secuencias de Cauchy y límite inversa. Puedo ver cómo estos dos son isomorfos como grupos. Sin embargo, el libro no explica cómo son topológicamente equivalentes homeomórficos) y yo soy incapaz de completar los detalles. Estoy buscando una referencia que lo hace.

He comprobado un par de referencias. La mayoría de los detalles se omiten. (¿Es realmente así de fácil? Yo no lo puede ver.) También hay muchas variantes: Algunos toman clases de equivalencia de Cauchy secuencias modulo null secuencias. La topología definida en la terminación también puede ser expresado de manera diferente.

Aquí es cómo el libro define una secuencia de Cauchy en un abelian topológico grupo:

$ (x_n) $ es una secuencia de Cauchy si para cada vecindad $ U $$ 0 $, $ N $ tal que $ n, m > N $$ x_n - x_m \in U$.

Dada la definición anterior, prefiero una referencia que no utilizan redes o métricas.

Dada una cadena de subgrupos $G = G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset ...$, el libro da $ G $ la topología en la que $\langle G_{n} \rangle $ es un barrio de la base de $ 0 $. El límite inversa considerado es, a continuación,$ \varprojlim_n G / G_n $.

Gracias

Answer 1

Esquema de la prueba.

Deje $C$ el grupo de secuencias de Cauchy (sin las clases de equivalencia.)

Si $\{a_i\}$ es de Cauchy, definir $N_k$ el de menos valor, de modo que $i,j\geq N_k,\ a_i-a_j\in G_k$, que puede ser escrito como $a_i+G_k=a_j+G_k$$G/G_k$. A continuación, defina $\phi_k:C\to G/G_k$$\{a_i\}\to a_{N_k}+G_k$. Mostrar que esto está bien definido, y el mapa satisface el límite inversa criterio. Si $p_k:G/G_{k+1}\to G/G_k$ tenemos que mostrar:

$$p_k\circ\phi_{k+1}=\phi_k$$

Así que la característica universal muestra que hay un homomorphism $\phi: C\to\varprojlim_n G / G_n$.

El siguiente paso es el de demostrar que el núcleo es exactamente la de Cauchy secuencias que se consideran cero en su definición. Creo que es fácil.

Así que esto demuestra un isomorfismo de grupos entre estos dos constructos, pero entonces usted necesita para comprobar que tienen la misma abierto conjuntos.

Answer 2

El grupo topológico $\widetilde{G} := \varprojlim_n G/G_n$ está determinada únicamente por las siguientes universal de los bienes:

Deje $B$ ser arbitraria topológica de un grupo con la continua homomorphisms $p_n : B \to G/G_n$ tan obvio que todos los triángulos conmutan, es decir, $c_n \circ p_{n+1} = p_n$ todos los $n$ donde $c_n$ denota la canónica (continua!) homomorphism $G/G_{n+1} \to G/G_n$. Entonces existe exactamente una continua homomorphism $\varphi : B \to \widetilde{G}$ de manera tal que de nuevo todos obvio triángulos conmutan, es decir, $d_n \circ \varphi = p_n$ todos los $n$ donde $d_n$ denota la canónica (continua!) homomorphism $\widetilde{G} \to G/G_n$.

Probablemente, usted debe dibujar los diagramas, ya que la declaración se hace muy natural entonces. Yo lo hubiera hecho, si xymatrix o tikz-cd se encuentra disponible aquí.

Ahora es fácil mostrar que $\widehat{G}$ (lo que denota el grupo de Cauchy secuencias de $G$ modulo cero secuencias) que satisface esta propiedad y por lo tanto es isomorfo a $\widetilde{G}$ como un grupo topológico (en particular, el isomorfismo es una homeomorphism).

En primer lugar tenemos canónica homomorphisms $d_n : \widehat{G} \to G/G_n$ que son fáciles de ver para ser continua como $G/G_n$ es un espacio discreto y $d_n^{-1}(0) = \widehat{G_n}$ está abierto en $\widehat{G}$ todos los $n$.

Deje $B$ ser arbitraria topológico grupo con homomorphisms $p_n$ anterior. Considere la posibilidad de un arbitrario $x \in B$ y deje $x_n \in G$ ser un representante de $p_n(x)$. A continuación, $(x_n)_{n \geq 1}$ es una secuencia de Cauchy en $G$ y cualquier otra elección de los representantes conduce a una secuencia equivalentes a cero secuencias. Así que tenemos una bien definida mapa de $\varphi : B \to \widehat{G}$ que se ve fácilmente a ser un homomorphism que satisface las propiedades anteriormente mencionadas, y está determinada únicamente por ellos.

Por lo que es suficiente para mostrar que $\varphi$ es continua. Dado que la topología de $\widehat{G}$ está dado por la filtración $\widehat{G_1} \geq \widehat{G_2} \geq \widehat{G_3} \geq \dots$ sólo tenemos que demostrar que $\varphi^{-1}(\widehat{G_n})$ está abierto en $B$ todos los $n$. Observando la definición vemos que $\varphi^{-1}(\widehat{G_n}) = \bigcup_{m \geq n} p_m^{-1}(G_n/G_m)$. Este conjunto es abierto ya que todos los $p_m$ son continuas.