Irreductible pero no primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] $

Question

Demostrar que $2,3, 1-\sqrt{-5}, 1+\sqrt{-5}$ son irreducibles sobre $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ pero no primo y que 1 y -1 son las únicas unidades.

Dejemos que $N$ sea el mapa de la norma en $\mathbb{Z}$ y dejemos que u denote la unidad, entonces como es un homomorfismo se deduce que :

$N(xy)=N(x)N(y)$ y por lo tanto con $N(u)N(u^{-1})=N(uu^{-1})=N(1)$ se deduce que la norma de u es un divisor de 1 y por tanto también una unidad de $\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, tenemos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ : $\forall a,b \in \mathbb{Z}: N(a+b\sqrt{-5})=(a+b\sqrt{-5})(a-b\sqrt{-5})=a^{2}+5b^{2}=1 \ \ \Rightarrow u= \pm 1$

Ahora se trata de demostrar que $2,3,1-\sqrt{-5}, 1+\sqrt{-5}$ son irreducibles sobre $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]: $

Supongamos que $1-\sqrt{-5}$ es reducible, entonces debe existir $a,b \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ para que $N(1-\sqrt{-5})=N(a)N(b) \Rightarrow N(a)=N(b)= \pm (1-\sqrt{-5})$ Pero como $1-\sqrt{-5}$ no es un resto cuadrático de $5$ no existe una solución para las ecuaciones $a^{2}+5b^{2}= \pm (1-\sqrt{-5})$ Y el mismo argumento sirve también para $2,3$ y $1+\sqrt{-5}$ .

Así, hemos demostrado que $2,3,1\pm \sqrt{-5}$ no son reducibles sobre $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Ahora demostramos que no son primos:

Supongamos que 2 es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ Entonces, debido a $2\cdot 3 = (1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})=6$ debe sostener que $2|(1-\sqrt{-5})$ o $2|(1+\sqrt{-5})$ . Pero con $a,b \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ se deduce inmediatamente que para :

$(1\pm\sqrt{-5})= 2(a+b\sqrt{-5})$ $2b = \pm 1$ . Así que 2 no es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Supongamos que 3 es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}$ entonces: $(1\pm \sqrt{-5}) = 3(a+b\sqrt{-5}) \Rightarrow 3b= \pm 1$ se deduce que 3 no es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Supongamos que $1\pm \sqrt{-5}$ es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ entonces: $3 = (1\pm \sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5}) \Rightarrow (1\pm \sqrt{-5} )a = 3$ que no es solucionable en $\mathbb{Z}$ . Y también $2=(1\pm \sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5})=(1\pm \sqrt{-5})a$ que tampoco es solucionable en $\mathbb{Z}$ y por lo tanto $(1\pm \sqrt{-5})$ no puede ser un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Dime si esta prueba es correcta. Por favor.

Answer 1

La prueba de que $1-\sqrt{-5}$ es irreducible es incorrecto. Además de un error menor (y por desgracia, común) en la escritura que hace que lo que escribe no lo que pretendía escribir, hay una afirmación que es sencillamente falsa.

Explícitamente, usted escribe:

Supongamos que $1-\sqrt{-5}$ es reducible, entonces debe existir $a,b \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ para que $N(1-\sqrt{-5})=N(a)N(b) \Rightarrow N(a)=N(b)= \pm (1-\sqrt{-5})$

Primero: el uso de $\Rightarrow$ es incorrecto. Lo que has escrito es que existe $a$ y $b$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ para el que se cumple la siguiente afirmación:

Si $N(1-\sqrt{-5}) = N(a)N(b)$ entonces $N(a)=N(b) = \pm (1-\sqrt{-5})$ .

Lo que en realidad quería escribir era que

Si existe $a,b\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tal que $N(1-\sqrt{-5}) = N(a)N(b)$ , entonces $N(a)=N(b)=\pm(1-\sqrt{-5})$ .

¿Cuál es la diferencia? La primera afirmación será cierta si puede encontrar un $a$ y un $b$ para lo cual $N(1-\sqrt{-5})$ es no igual a $N(a)N(b)$ ¡! Será cierto que la implicación se mantiene, porque el antecedente será falso. Por lo tanto, al exhibir $a=7$ y $b=10578432$ hace que la afirmación que has escrito sea cierta. Sin embargo, son irrelevantes para la segunda afirmación (y para establecer lo que usted quiere establecer, es decir, que no hay tal $a$ y $b$ existen).

Segundo: esto es incorrecto. Lo que se quiere suponer es que existe $a$ y $b$ tal que $1-\sqrt{-5} = ab$ y tampoco $a$ ni $b$ son unidades; tú no simplemente quiere asumir que el producto de las normas de $a$ y $b$ es igual a la norma de $1-\sqrt{-5}$ .

Tercero: Aun así, tu conclusión es un sinsentido. La norma de cualquier elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ debe ser un número entero. Lo que se quiere concluir es que $N(a)N(b) = N(1-\sqrt{-5}) = 6$ y luego obtener una contradicción. La norma no puede ser igual a $\pm(1-\sqrt{-5})$ .

Tampoco tiene sentido decir "desde $1-\sqrt{-5}$ no es un resto cuadrático módulo $5$ ". Ni siquiera es un resto modulo $5$ , porque no es un entero ¡!

El argumento sobre $2$ no ser primo es igualmente incorrecto en su uso de la norma, que rápidamente se reduce a símbolos sin sentido esparcidos por ahí:

Pero con $a,b \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ se deduce inmediatamente que para : $(1\pm\sqrt{-5})= 2(a+b\sqrt{-5})$ $2b = \pm 1$ . Así que 2 no es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Esto no tiene sentido tal y como está escrito. Sospecho que querías decir algo como

Pero no puede existir $a,b\in\mathbb{Z}$ ( no en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ) tal que $2(a+b\sqrt{-5}) = 2a+2b\sqrt{-5} = 1-\sqrt{-5}$ .

Los mismos problemas con el resto de los argumentos. O bien son concisos hasta el punto de no tener sentido, o bien contienen afirmaciones incorrectas o incoherentes. Le pido encarecidamente que escriba completa oraciones, utilice palabras y no confíe demasiado en los símbolos. Y leer tus propios argumentos con ojo crítico al terminar.