K-Teoría de la $C(X)$ $X$ totalmente desconectado

Question

Estoy estudiando la K-Teoría de las C*-álgebras por el siguiente libro: Rordam, Larsen y Laustsen.

Estoy teniendo un problema con el Ejercicio 3.4, la cual es:

Deje $X$ ser cualquier compacto Housdorff espacio. En la parte (i) de los ejercicios, me han demostrado que hay una surjective grupo homomorphism $$\text{dim}: K_0(C(X)) \to C(X, \mathbb{Z})$$ que satisface $\text{dim}([p]_0)(x)=\text{Tr}(p(x))$.

En la parte (ii) de los ejercicios, me han demostrado que $\text{dim}([p]_0)=\text{dim}([q]_0)$ fib para cada una de las $x \in X$ existe $v_x \in M_{m,n}(\mathbb{C})$ tal que $v_xv_x^*=p(x)$ $v_x^*v_x=q(x)$ $p$ es una proyección en $M_m(C(X))$ $q$ es una proyección en $M_m(C(X))$.

Mi problema es la parte (iii) de este ejercicio, que es, no puedo mostrar que el $\text{dim}$ mapa en (i) es inyectiva si $X$ es totalmente disconected.

¿Alguien tiene una buena idea para que me ayude?

Gracias!

Answer 1

Por la continuidad de $p, q :X \rightarrow M_n \mathbb(C)$, y (ii), y el total de disconnectedess de $X$, encontrar una partición de X en clopen conjuntos de $X_1,\cdots, X_k$ y complejidad de la matriz $v_1,\cdots,v_k$ tal que $\|v_i^*v_i - p(x)\|<1$ $\|v_iv_i^* - q(x)\|<1$ todos los $x \in X_i$.

Ahora, definir el mapa $f: X \rightarrow M_n (C)$, $f(x) = v_i$, $x \in X_i$, y aviso que $f$ es continua. Demostrar que $\|f^*f - p\|<1$$\|ff^* - q\| <1$. Por lo $p$ es Murray-von Neumann equivalente al $q$.