Espera que el número de sorteos hasta el primer buen elemento es el elegido

Question

Una población que ha $G$ buena y $B$ malos elementos, $G+B=N$. Los elementos son atraídos uno por uno al azar sin reemplazo. Supongamos que el primer buen elemento aparece en el número de sorteo $X$. Encontrar una fórmula sencilla, que no impliquen cualquier suma de$1$$N$$E(X)$. Sugerencia: Escriba $X-1$ como la suma de $B$ indicadores.

Ok, así que sabemos que en la primera $X-1$ sorteos que sólo llegan los malos elementos. Deje $I_j$ $1$ si $j$th empate le da mal la pelota y $0$ lo contrario. $X-1=I_1+I_2+ \cdots +I_{x-1}$, todos los cuales tienen valor $1$. $E(I_1)= \cdots=E(I_n)=B/N=(N-G)/N$. Ahora podemos escribir $E(X)=E((X-1)+1)$ $=E(X-1)+E(1)=E(X-1)+1.$ No estoy exactamente seguro de que en la fórmula para $E(X-1)$. Esperemos, yo estoy en el camino correcto. Gracias!

Answer 1

Su actual intento de no expresar $X-1$ como la suma de $B$ indicadores. En lugar de ello, el número de la mala bolas $1$ a través de $B$. Intente $I_j = 1$ si mal bola de $j$ es elegido antes de que cualquiera de las buenas bolas y $0$ lo contrario. Entonces usted tiene $X-1 = \sum_{j=1}^B I_j$. Ahora, se puede acabar con el problema encontrando $E[I_j]$?

(Añadido, para la integridad): Tenemos $E[I_j] = \frac{1}{G+1}$, la probabilidad de que un mal balón $j$ es elegido antes de que cualquiera de las buenas bolas. Por lo tanto $$E[X] = \frac{B}{G+1} + 1 = \frac{B + G + 1}{G+1} = \frac{N+1}{G+1}.$$

Answer 2

Desde que yo estaba tratando de resolver esta suma el uso de técnicas para la curiosidad, me deja agregar mi solución para documentar (aunque no responde a la pregunta).

Deje $P(n)$ la probabilidad de que nuestro primer $n$ picks son malos candidatos.

$$P(n) = {{(N-G)(N-G-1)(N-G-n+1)} \over {N(N-1)..(N-n+1)} }$$

Podemos volver a organizar esta ecuación de la siguiente manera.

$$P(n) = {{(N-G)(N-G-1)(N-G-n+1)(N-G-n)(N-G-n-1)..1(N-n)(N-n-1)..1} \over {N(N-1)..(N-n+1)(N-n)(N-n-1)..1}(N-G-n)(N-G-n-1)..1 }$$

$$P(n) = {{N-n \choose G} \over {N \choose G}}$$

PARA calcular la expectativa, vamos a definir una función de $F(n)$ cual es la probabilidad de no $n-1$ veces y tener éxito $n^{th}$ del tiempo.

$$F(n) = P(n-1){G \over {N-n+1}}$$

$$E(x) = \sum_{i=1}^{N-G+1}iF(i)$$

Re-indexación de esta suma y la aplicación de la binomial identidades lleva al resultado como se esperaba.