Un ejemplo claro de una función derivable de tomar racional de los valores en puntos racionales pero cuya derivada es irracional en racional puntos

Question

Construir un ejemplo de una función derivable tal que $$ \forall r \in {\Bbb Q}\quad f(r) \in {\Bbb Q}\text{ pero } f'(r) \noen {\Bbb P} $$ este ejemplo no es trivial, en un papel que prueban la existencia, pero no dan un ejemplo claro, pero me dijeron que el otro papel como un ejemplo claro de eso, pero no pude encontrarlo.

EDITADO: Este es el artículo:

Walter Rudin, las Restricciones en los Valores de los Derivados, La American Mathematical Mensual, Vol. 84, Nº 9 (1977), pp 722-723, MR480908.

Answer 1

El problema que se plantea está disponible aquí, pero aquí es en su totalidad:

Aquí un enlace al artículo que estás buscando:

F. D. Martillo y William Knight, la Solución del problema 5955, La American Mathematical Monthly Vol. 82, Nº 4 (Abr., 1975), pp 415-416. MR1537708.

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La solución dada en que el papel es muy simple y elegante:

Deje $\tilde{g}: \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \to \mathbb{R}$ ser la función de $\tilde{g}(x) = x(1-4x^2)$. Su $1$-periódico extensión de $g$ a todos los de $\mathbb{R}$ $C^1$- función que es cero en los números enteros y cuya derivada en los enteros es $1$.

Ahora vamos a $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g(n!x)}{(n!)^2}.$$

Es sencillo comprobar que $f\in C^1$ [deje $f_k \in C^1$ $k$ésima suma parcial de la serie. A continuación, $f_k \to f$ pointwise y $f_{k}^\prime$ es uniformemente de Cauchy, por lo $f \in C^1$]. Ahora note que racional, $x$ sólo un número finito de sumandos de $f$ no son cero, por lo tanto $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$. Por otro lado, racional, $x$ tenemos $$f'(x) - e = f'(x) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \text{finitely many rational terms} \in \mathbb{Q},$$ por lo $f'(x) \notin \mathbb{Q}$, como se desee.

(Gracias a robjohn por señalar un error en la versión anterior de esta respuesta)