La convergencia en el producto de la topología

Question

Deje $x_1,x_2, \ldots$ ser una secuencia de puntos del espacio del producto $\prod X_\alpha$. Mostrar que la secuencia converge al punto de $x$ si y sólo si la secuencia de $\pi(x_1), \pi(x_2)\ldots$ converge a $\pi_\alpha(x)$ por cada $\alpha$. Es este hecho el verdadero cuadro de la topología en lugar de topología de productos?

Pero, ¿qué significa para converger en la topología producto? Es un común barrio existe para todos los puntos en la secuencia?

Answer 1

Deje $U\subseteq X_\alpha$ ser un barrio de $\pi_\alpha(x)$. Por definición de topología de productos, el conjunto $V:=\prod U_i\subseteq \prod X_i$ $U_\alpha=U$ $U_i=X_i$ $i\ne \alpha$ es una vecindad de a $x$. De ahí que casi todos los $x_n$$V$, de ahí que casi todos los $\pi_\alpha(x_n)$$U$. Este dice que $\pi_\alpha(x_n)\to \pi_\alpha(x)$.

En el otro sentido suponer que $\pi_\alpha(x_n)\to \pi_\alpha(x)$ todos los $\alpha$. Deje $U$ libre neighbourgood de $x$. Wlog. podemos suponer que la $U$ es el producto de abrir conjuntos de $U_\alpha$ $X_\alpha$ donde $U_\alpha=X_\alpha$ en casi todas las $\alpha$ (como estos conjuntos forman una base de la topología producto). A continuación, para cada una de las $\alpha$, tenemos que casi todos los $\pi_\alpha(x_n)$$U_\alpha$, que es que hay $n_\alpha\in\mathbb N$ tal que $\pi_\alpha(x_n)\in U_\alpha$ todos los $n>n_\alpha$. Desde $U_\alpha=X_\alpha$ en casi todas las $\alpha$, se puede elegir $n_\alpha=0$ en casi todas las $\alpha$. Por lo tanto, podemos considerar a $N=\max\{n_\alpha\mid \alpha\}=\max\{n_\alpha\mid U_\alpha=X_\alpha\}\in\mathbb N$ porque estamos tomando el máximo de sólo más de un número finito de números naturales. A continuación, para $n>N$ tenemos que $\pi_\alpha(x_n)\in U_\alpha$ y, por tanto,$x_n\in U$. Esto demuestra que $x_n\to x$.

Con el cuadro de la topología, el argumento de arriba falla en la negrita paso. Más concretamente, la nota en el cuadro de la topología producto de una infinidad de discretos de dos puntos espacios discretos y encontrar un explicite contraejemplo de que.

Answer 2

Aquí está mi habitual resumen sentido de la respuesta.

1. El producto de espacios topológicos satisface (o más bien, se define por) la característica universal: Un mapa continuo en el producto no es nada más que una familia continua de los mapas en los factores.

2. Una secuencia en un espacio de $X$ es un (continua) mapa de $\mathbb{N} \to X$, y converge con el fib este mapa tiene una extensión de un mapa continuo $\mathbb{N}^+ \to X$ donde $\mathbb{N}^+ = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ es el punto de compactification, donde el básico-abrir barrios de $\infty$ son cofinite. El valor en $\infty$ es el límite de la secuencia.

3. A partir del 1 de. llegamos $\hom(\mathbb{N}^+,\prod_\alpha X_\alpha) = \prod_\alpha \hom(\mathbb{N}^+,X_\alpha)$, y a partir de 2. vemos que esto significa que una secuencia en $\prod_\alpha X_\alpha$ es sólo un $\alpha$-indexado de la familia de las secuencias en el $X_\alpha$, y que el límite de esta secuencia es la misma que la $\alpha$-indexado de la familia de algunos de los límites de las secuencias individuales.