Demostrar que $(B, \|-\|_{\infty})$ completa. B el conjunto de los delimitada real de las funciones con valores en [0,1], que se pointwise límite de funciones continuas.

Question

Pregunta: Demostrar que $(B, \|-\|_{\infty})$ es completa. B el conjunto de los delimitada real de las funciones con valores en [0,1], que se pointwise límite de funciones continuas en [0,1].

Contexto: el Antiguo examen de problema estoy usando para estudiar. Análisis Real por Carothers.

He tratado de evitar una prueba directa de la definición de Cauchy secuencias apelando al hecho de que (a$B_{\infty}, \|-\|_{\infty}$) es una normativa espacio donde $B_{\infty}$ es el conjunto de delimitada real de las funciones con valores en $\mathbb{R}$ que son pointwise límites de funciones continuas. Por lo $B \in B_{\infty}$ y por un Teorema de una normativa spacve es completo si y sólo si cada absolutamente summable de la serie en $B$ es summable.

Estoy teniendo problemas para hacer un caso sólido para acreditar la condición en la última parte y también cómo decir que $B$ es de hecho una normativa espacio.

Gracias de antemano.

Answer 1

(Voy a utilizar $\mathcal{B}$ para denotar el espacio vectorial de los delimitadas las funciones que se pointwise límites de funciones continuas.) Supongamos $B_n$ es una secuencia de Cauchy en $\mathcal{B}$. De pasar a la larga, podemos suponer que la $\|B_{n+1} - B_n\| < \frac{1}{2^{n+1}}$. De ello se sigue que si ponemos en $C_n = B_{n+1} - B_n$, $\|C_n\| < \frac{1}{2^{n+1}}$ y $C_n$ es el pointwise límite de funciones continuas.

Ahora, ya tenemos $|C_n(x)| < \frac{1}{2^{n+1}}$ mantiene para cada una de las $x$, la serie $\sum_{i=1}^\infty C_n(x)$ converge, decir que el valor de $C(x)$. De esta forma se define una función de $C$, la cual está acotada. La parte difícil es demostrar que no es una secuencia de funciones continuas convergentes a $C$. Una prueba de esto, véase el lema 2 de : http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2007/huh.pdf

(El $C_n$ son Baire una de las funciones, delimitada de manera uniforme por $M_n = \frac{1}{2^{n+1}}$. )

Para terminar, simplemente, tenga en cuenta que $B_1(x) + \sum_{i=1}^n C_i(x) = B_{n+1}(x)$, y por lo $B_n$ converge en la norma de $\mathcal{B}$$B_1 + C$, y este es un Baire una función.

Answer 2

Esto podría ser mejor como un comentario de como una respuesta, pero Rudin hizo probar esto en el final del Capítulo 3 en su libro Real y el Análisis Complejo.