En primer lugar, asumir que un polinomio $p(t) \in \Bbb C[t]$ satisface $p(0) = p(1) = 0$. Entonces existe un polinomio $q(t)\in \Bbb C[t]$ tal que $p(t) = t(t-1)q(t)$. La expansión de $q(t) = c_1 + c_2t^1 + \cdots c_nt^{n-1}$, obtenemos que
$$
p(t) = \sum_{i = 1}^n c_n t^n(t-1)
$$
En general, el término $t^i(t-1)^j$ es la imagen de un monomio en $x$ $y$ fib $j \leq i \leq 2j$ (uso lo suficientemente $y$-términos $(i-j)$ a la derecha, a continuación, utilizar la cantidad suficiente de $x$ términos $i$ a la derecha, y usted está allí). En nuestro caso, nunca vamos a tener ningún problema para el cumplimiento de $j \leq i$. Sin embargo, los términos tales como $t^6(t-1)$ no cumple $i \leq 2j$ ("el estado"). Por lo tanto, se centran en un término general que la condición sea violado y ver si puede ser reescrita en alguna manera.
Tenemos
$$
t^i(t-1)^j = t^{i-1}(t-1+1)(t-1)^j = t^{i-1}(t-1)^{j+1} + t^{i-1}(t-1)^{j}
$$
donde los dos términos de los que acabaron con la que están más cerca de la original para el cumplimiento de la condición. Por lo tanto, cada término en la nueva expansión es la imagen de un monomio en $x$$y$, y por lo tanto el conjunto de la $p(t)$ está en la imagen.
Ahora, ¿qué pasa si $p(0) = p(1) \neq 0$? En ese caso, aplicar lo anterior a $p(t) - p(0)$ para obtener algunos polinomio $f(x, y)$ tal que $\phi(f(x, y)) = p(t) - p(0)$. A continuación,$\phi(f(x, y) + p(0)) = p(t)$.
