Cuando se hace infinito de inclusión-exclusión en el trabajo si $\sum_n P(A_n) < \infty$?

Question

Si $\sum_n P(A_n) = \infty$, entonces está claro que no podemos intentar aplicar inclusión-exclusión directamente a evaluar $P\left(\bigcup_n A_n\right)$, sin tener límites. Pero lo que si $\sum_n P(A_n) < \infty$? Podemos definir

$$P\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_{n_1 \in {\mathbb N}} P(A_{n_1}) - \sum_{\{n_1,n_2\} \in {\mathbb{N} \choose 2}} P(A_{n_1} \cap A_{n_2}) + \ldots $$

Parece que primero todos los interiores de la serie deben converger y, a continuación, quizás el exterior infinita suma debe convergen absolutamente. En cualquier caso, cuando es la expresión convergente y validez? En particular, ¿qué pasa si el $A_n$ son independientes?

Answer 1

No estoy seguro de lo que sucede cuando las $A_n$ son independientes, pero si el $A_n$ no son independientes, entonces es posible que la suma de pares de intersección de las probabilidades diverge incluso si $\sum_n P(A_n)$ converge. Para ver esto, considere la posibilidad de $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \cdots$ donde cada una de las $A_n$ probabilidad de $1/n^2$. A continuación, $\sum_n P(A_n)$ converge, pero la suma de pares de intersección de las probabilidades es $\sum_n (n-1)/n^2$ que diverge.