Si el viaje más rápido que la luz es imposible, ¿cómo es que la luz emitida por la materia tan cercana en el tiempo poco después del Big Bang apenas nos llega ahora? Supongo que habrá un "límite" en cuanto a la distancia que podemos ver, pero ¿exactamente cuánto tiempo después del Big Bang somos capaces de observar? Estoy seguro de que hay una explicación fácil, pero me ha estado molestando durante un tiempo... Soy consciente de cómo funciona esto, pero tengo curiosidad por saber cuánto tiempo después del Big Bang somos capaces de ver en imágenes como el Campo Profundo del Hubble. Si la luz viaja a una velocidad constante sin importar las condiciones que experimente el observador, entonces ¿por qué habría una más largo ¿un tramo de tiempo para que la luz viaje a través de la expansión del universo? Por favor, díganme si debo elaborar más mi pregunta porque siento que mi escritura es un poco difícil de entender...
Respuestas
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Edición: Preguntado en Overflow: Hay algunas respuestas muy buenas que se pueden encontrar aquí que explican un significado más profundo: https://mathoverflow.net/questions/82648/truncated-exponential-series-modulo-p-deeper-meaning-for-a-putnam-question
Siento que al mirar $\sum_{k=0}^{p-1} k!n^k$ sin cambiar su forma es la manera equivocada de abordar este problema, y si hay soluciones más profundas vendrán modificando esto primero. Después de algunos reordenamientos modulo $p$ Lo que somos realmente que se está viendo es la serie exponencial truncada.
Reformulando la pregunta: En primer lugar, ignoremos $n=0$ ya que en este caso la suma es sólo $1$ y en su lugar considerar sólo el grupo multiplicativo. Dejando que $k=p-1-l$ y utilizando el teorema de Wilsons y el pequeño teorema de Fermats podemos reescribir nuestra suma como $$\sum_{k=0}^{p-1}k!n^{k}\equiv\sum_{l=0}^{p-1}(p-1-l)!n^{p-1-l}\equiv-\sum_{l=0}^{p-1}\frac{1}{(p-l)(p-l+1)\cdots(p-1)}n^{-l} $$ $$\equiv -\sum_{l=0}^{p-1}(-1)^{l}\frac{n^{-l}}{l!}.$$ Utilizando el hecho de que $n\rightarrow p-n $ y $n\rightarrow n^{-1}$ son isomorfismos del grupo multiplicativo, hemos reducido el problema a considerar para qué $n$ tenemos $$-\sum_{l=0}^{p-1}\frac{x^{l}}{l!}=0.$$ Esto significa que el problema original es equivalente a acotar el número de ceros módulo $p$ de la función exponencial truncada $$E(z)=\sum_{l=0}^{p-1}\frac{z^{l}}{l!}.$$
Prueba de la pregunta: Considere $$Q(z)=z^{p}-z+\sum_{l=0}^{p-1}\frac{z^{l}}{l!}.$$ Entonces, para cada número entero $Q(n)=E(n).$ Sin embargo, $$Q^{'}(z)\equiv E^{'}(z)-1=E(z)-\frac{z^{p-1}}{(p-1)!}-1\equiv E(z)+z^{p-1}-1.$$ Entonces, si $Q(n)=0$ para $n\neq0$ también debemos tener $Q^{'}(n)=0$ para que $n$ es una raíz doble de $Q(n).$ Desde $\deg Q(n)=p$ vemos que a lo sumo la mitad de los enteros $p\in\left\{ 1,2,\dots,p-1\right\}$ satisfacer $E(n)=0.$ Desde $E(0)=1$ concluimos el resultado deseado.
Motivación: La primera idea que había mirado $E(z)-E(-z)$ pero si se llevan a cabo los cálculos sólo se puede demostrar que al menos $\frac{p-1}{4}$ son distintos de cero. En su lugar, veamos la derivada de $E(z)$ que es $E(z)+z^{p-1}$ . Sabiendo que los ceros múltiples son lo que queremos ya que significa menos ceros en total, debemos añadir una función cuya derivada sea $-1$ ya que esto forzará múltiples ceros. La opción obvia es entonces $x^p-x$ ya que deja invariable el polinomio original.
Observación: Si preguntas por la exponencial truncada, hay muchos documentos en existencia y probablemente una forma de alto nivel para ver el problema. Por ejemplo, véase la primera parte de http://www.science.unitn.it/~mattarei/Ricerca/Preprints/AH.pdf
Al principio del universo, la tasa de expansión era mucho mayor que la actual, lo que es una forma de decir que el espacio-tiempo estaba fuertemente curvado. Se necesita la relatividad general para entender lo que ocurre, pero una buena manera de pensar en ello es que cuando un rayo de luz llega desde A hasta donde estaba B, la expansión del universo ha llevado a B aún más lejos de A. Es cierto que nada puede moverse más rápido que la luz localmente pero no hay tal restricción en la expansión del espacio mismo. Todos los observadores siguen viendo los rayos de luz que pasan junto a ellos a la velocidad de la luz, pero los puntos distantes pueden separarse tan rápido que ningún mensaje puede pasar entre ellos. O un mensaje enviado a primera hora sólo nos llega a nosotros hoy.
La superficie más allá de la cual no puede llegar ninguna información se llama horizonte cosmológico. En la práctica, sólo "vemos" hasta la superficie de la última dispersión (el lugar de donde procede el fondo cósmico de microondas). Esto es unos 300.000 años después del big bang. Antes de eso, el universo está lleno de un plasma que es ópticamente opaco. Pero podemos inferir lo que ocurre antes a través de otras líneas de evidencia (como la nucleosíntesis del big bang, por ejemplo). El campo ultraprofundo del Hubble procede de una época posterior en la que existen estrellas y se están formando galaxias. Echa un vistazo aquí para una línea de tiempo del universo. Esa página dice que el campo ultra profundo del Hubble se remonta a 13.000 millones de años.
Estos preguntas y los enlaces que hay en él, podrían ayudarte. Hay más en este sitio que hablan de estas cosas, por favor, busque alrededor.
¿Afecta la expansión del universo poco después del Big Bang a la tiempo que tarda la luz en llegar a nosotros?
El tiempo que la luz ha tenido que viajar es simplemente por la edad del universo (o un poco menos, porque el universo muy temprano era opaco). La edad del universo es de 14.000 millones de años, así que ese es el tiempo que ha tenido que viajar la luz más antigua.
Lo que ha afectado la expansión cosmológica es la distancia entre nosotros y el punto de emisión de esa luz. Se podría pensar que el punto desde el que se emitió esa luz estaría a 14.000 millones de años luz de nosotros, pero en realidad está a unos 46.000 millones de años luz, porque el universo se ha ido expandiendo mientras la luz estaba en camino.
Voy a ampliar un poco (sin ánimo de broma) las respuestas dadas por Michael Brown y Ben Crowell. La tasa de expansión del universo primitivo era, en efecto, mucho mayor que la actual. La expansión desacelerado primero, y sólo empezó a acelerarse de nuevo cuando el universo tenía 7.700 millones de años, debido al efecto de la energía oscura. Además, las regiones distantes del espacio se alejan de nosotros más rápido que la velocidad de la luz: la ley de Hubble $$ v = HD $$ simplemente afirma que la velocidad de recesión de una galaxia lejana es proporcional a su distancia propia $D$ . Si $D$ es lo suficientemente grande, entonces $v$ supera la velocidad de la luz. La distancia $D_H$ para lo cual $v=c$ se denomina distancia de Hubble, y actualmente es de unos 14.500 millones de años luz. Sin embargo, esta distancia es mucho menor que el radio del universo observable, que es de unos 46.200 millones de años luz. Mira este gráfico, que muestra la expansión del universo:
El eje horizontal muestra la distancia a nosotros (en Gigalightyears), y el eje vertical es el tiempo cósmico (izquierda), y el factor de escala correspondiente (derecha). Nos encontramos en la sección transversal de las líneas negras gruesas; nuestro universo tiene actualmente 13.800 millones de años.
La curva azul es el tamaño del universo observable, y la curva roja es nuestro horizonte de sucesos. Las líneas amarillas son las trayectorias de los fotones; en particular, las líneas naranjas son las trayectorias de los fotones que observamos hoy: nuestro cono de luz actual pasado. Las líneas negras punteadas son regiones del espacio (cúmulos de galaxias) que se alejan a medida que el universo se expande. Por último, las curvas verdes son líneas de velocidad de recesión constante: del verde oscuro al verde claro tenemos $v=c$ (la distancia de Hubble), $v=2c$ , $v=3c$ y $v=4c$ .
Como se puede ver, el borde de lo observable se aleja actualmente de nosotros a más de 3 veces la velocidad de la luz.
Cuando un fotón se emite en nuestra dirección desde una región del espacio, tiene que superar la expansión del espacio para poder llegar hasta nosotros: mientras viaja hacia nosotros, la cantidad de espacio que tiene que recorrer aumenta. Es como nadar a contracorriente o correr en una cinta, y el resultado es que los fotones tardan mucho más en llegar a nosotros (y si están demasiado lejos, no pueden llegar).
Acerquémonos al gráfico: 
Como he mencionado antes, las líneas naranjas son las trayectorias de los fotones que observamos hoy en día. Fíjate en la característica forma de lágrima: los fotones emitidos en el universo primitivo lo fueron desde regiones que se alejaban de nosotros más rápido que la velocidad de la luz. En consecuencia, esos fotones al principio también se alejaban de nosotros ( $v-c>0)$ . Sin embargo, esos fotones se movieron gradualmente a través de regiones que retrocedían a velocidades más bajas, hasta que finalmente cruzaron la distancia de Hubble (la curva verde oscuro), la región que retrocede a $v=c$ . Esto ocurrió cuando el universo tenía unos 4.100 millones de años. Después, los fotones fueron lo suficientemente rápidos como para superar la expansión del espacio, y su distancia a nosotros disminuyó, hasta que finalmente nos alcanzan hoy.
Ver también este puesto de la mía, para una respuesta más detallada y técnica.
El universo se expande a un ritmo constante de 74 km por/MPC (aproximadamente 3 millones de años) El ritmo de expansión actual es mucho menor que el de los primeros años, cerca del inicio del big bang. Dado que no es posible viajar más rápido que la luz, la "expansión" del universo primitivo se debe simplemente a la inflación temprana.
