Demostrar que $x \equiv 0$ $\dot{x}(t)=a(t)x$ es Uniformemente Asintóticamente Estable

Question

Tengo un problema:

Considere la ecuación escalar: $$\dot{x}(t)=a(t)x \tag{I}$$ where $a(t) \C(\mathbb{R}^+)$.

Demostrar que $x \equiv 0$ $(I)$ es Uniformemente Asintóticamente Estable iff $$\forall M>0, \existe T>0, \forall t_0 \ge 0: \int_{t_0}^{t} (s)\mathrm{d}s<-M, \forall t \ge t_0+T$$

Aquí está mi dibujo:

• La primera, puesto que la ecuación $\dot{x}(t)=a(t)x $, $$x(t)=x_0 \cdot \exp \left (\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \right)$$
• La segunda, $\forall M>0, \exists T>0, \forall t_0 \ge 0: \int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s<-M \iff \exp \left (\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \right) < e^{-M} $

Por lo tanto, $$\left|x(t) \right|=\left|x_0 \cdot \exp \left (\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \right) \right| \le \left|x_0 \right| \cdot \exp \left (\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \right) \le \left|x_0 \right| e^{-M}$$

• Ahora, que me he quedado cuando estoy tratando de mostrar que $x \equiv 0$ $(I)$ es Uniformemente Estable y Uniformemente convergente, sabemos

$1/$ Uniformemente convergente:

$\forall \epsilon >0,\exists \delta_1>0, \exists T=T(\epsilon)>0, \text{s.t}: \|x(t_0)\|<\delta_1 \implies \|x(t)\|< \epsilon, \forall t \ge t_0 +T$.

$2/$ Uniformemente Estable:

$\forall \epsilon >0,\exists \delta = \delta (\epsilon)>0, \text{s.t}: \|x(t_0)\|<\delta \implies \|x(t)\|< \epsilon, \forall t \ge t_0 \ge 0$.

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Elijo $\epsilon = \left|x_0 \right| e^{-M}>0$. Pero ¿Cómo hacemos para encontrar $T=T(\epsilon)=???$

De dónde, aún no tengo solución.

Cualquier ayuda será apreciada! Gracias!

Answer 1

Descargo de responsabilidad: La definición que enlaza dice que el "equilibrio $x_e=0$ $t_0$ $\dot{x}=f(x,t)$" que parece dar a entender que sólo están interesados en un determinado fijo de tiempo inicial $t_0$. Yo sólo voy a rodar con que: En la respuesta supongo que $t_0$ es algunos fijos de tiempo inicial. Sin embargo, parece un poco extraño dado que la terminología "uniformemente estable" y "uniformemente convergente", que, en mi experiencia, que generalmente consiste en hacer declaraciones de todos los tiempos posibles $t_0$ (véase, por ejemplo, el libro de Khalil).

Para obtener el si nos muestran que la primera

$$\forall M>0, \exists T>0:\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s<-M, \forall t \ge t_0+T\quad\quad(*)$$

implica que $0$ es uniformemente asintóticamente estable. Entonces, para obtener el sólo si es suficiente para mostrar que el $0$ ser uniformemente convergente implica $(*)$.

Para mostrar que $(*)$ implica que el $0$ es uniformemente asintóticamente estable nos han demostrado que el $(*)$ implica que el $0$ es tanto uniformemente convergente y uniformemente estable.

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Uniformemente convergente es fácil. Arreglar cualquier $\varepsilon>0$. A continuación, requieren que exista una $\delta>0$ $T>0$ tal que

$$|x(t_0)|\leq \delta\Rightarrow |x(t)|\leq \varepsilon\quad\forall t\geq t_0+T.$$

Arreglar cualquier $M>0$. Desde su boceto tenemos que existe un $T>0$ tal que

$$\left|x(t) \right|\leq \left|x(t_0) \right| e^{-M}$$

para todos los $t\geq t_0+T$. Recogiendo $\delta=\varepsilon e^M$ nos da la deseada $|x(t)|\leq\varepsilon$ todos los $t\geq t_0+T$.

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Para el uniforme de la estabilidad: una vez más elegir cualquier $M>0$ y deje $T>0$ ser tal que

$$|x(t)|\leq |x(t_0)|e^{-M} \quad (**)$$

para todos los $t\geq t_0+T$. Desde $a$ es continua, es fácil ver que

$$\int_{t_0}^{t_0+T}a(s)ds\leq \alpha$$

para algunos $\alpha\in\mathbb{R}$. Entonces, para cualquier $t\in[t_0,t_0+T]$,

$$|x(t)|=|x(t_0)|\left|exp\left(\int_{t_0}^{t_0+T}a(s)ds\right)\right|\leq |x(t_0)|e^\alpha. \quad (***)$$

Así, si partimos $\delta=\min\{\varepsilon e^M,\varepsilon e^{-\alpha}\}$, $(**)$ $(***)$ da la deseada $|x(t)|\leq \varepsilon$ todos los $t\geq t_0$.

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Por último, para el caso de que: Por la convergencia uniforme se tiene que para cualquier $x(t_0)$

$$\lim_{t\to\infty} x(t)=\lim_{t\to\infty} x(t_0)\exp\left(\int_{t_0}^{t}a(s)ds\right)=0\Leftrightarrow \lim_{t\to\infty} \int_{t_0}^{t}a(s)ds=0$$

que es equivalente a $(*)$.

Answer 2

Aquí hay otra solución:

1/ mostraremos $x \equiv 0$ es Uniformemente Estable iff $$\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \le M, \forall t \ge t_0 \ge 0$$

• Prueba (Suficiencia).

Suponemos que $x \equiv 0$ es Uniformemente Estable. $\forall \epsilon >0, \forall t_0 \ge 0 ,\exists \delta=\delta(\epsilon)>0 $ tal que $$\|x_0\|< \delta \implies \|x(t)\| < \epsilon, \forall t \ge t_0 \ge 0$$ Tomando $t_0=0,x_0=\dfrac{\delta}{2}, \epsilon =1$. Así: $$\|x(t;0;x_0)\|=|x_0|\exp\left(\int_{0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \right) <\epsilon =1$$ Por lo tanto, $\int_{0}^{t}a(s)\mathrm{d}s< M:=\log\left(\dfrac{2}{\delta} \right)$.

• Prueba (Necesidad).

Suponemos que $\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s \le M, \forall t \ge t_0 \ge 0 $

Tenemos $\forall \epsilon >0, \forall t_0 \ge 0 ,\exists \delta=\delta(\epsilon)>0 $ tal que $\|x_0\|< \delta$.

Consideramos $\|x(t)\| \le \epsilon:=\delta \exp \left(-\int_{0}^{t_0}a(s)\mathrm{d}s \right) e^M, \forall t \ge t_0 \ge 0$

2/ mostraremos $x \equiv 0$ es Asintóticamente Estable iff $$\lim_{t \to \infty}\int_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s =-\infty $$

3/ Desde $(1)$$(2)$, $x \equiv 0$ es Uniformemente Asintóticamente Estable si y sólo si $$\forall M>0, \existe T>0, \forall t_0 \ge 0: \int_{t_0}^{t} (s)\mathrm{d}s<-M, \forall t \ge t_0+T$$.