Bien ordenado de conjuntos, la teoría de conjuntos

Question

Definir una relación $R$ entre los pares ordenados de números ordinales por $(\gamma,\delta)R(\lambda,\kappa)$ si $\gamma +\delta<\lambda +\kappa$ o $\gamma +\delta=\lambda +\kappa$ $\gamma<\lambda$

(1) Demostrar que este es un bien de orden en la clase de los pares ordenados de números ordinales y que por cada $(\lambda,\kappa)$ clase $\{(\gamma,\delta): (\gamma,\delta)R(\lambda,\kappa)\}$ es un conjunto.

Primero tenemos que demostrar que es un estricto orden lineal, es decir, $R$ es irreflexiva, transitiva y relación lineal, y después de que el wellfoundedness parte de encontrar el menor elemento.

¿Cómo puedo mostrar la wellfoundness parte? Y para demostrar que es un conjunto, lo voy a usar? Reemplazo? Gracias por la ayuda, realmente aprecio sus respuestas.

Answer 1

Supongamos $(\alpha_i,\beta_i)$ $i\in \omega$ es un infinito descendente de la cadena. Ahora supongamos infinitamente a menudo que $\alpha_i + \beta_i > \alpha_{i+1} + \beta_{i+1}$. Si este es el caso de los ordinales $\gamma_i := \alpha_i + \beta_i$ forma de una infinita descendente de la cadena de contradecir el fundamento de la ORD.

Así que hay un $n$ tal que para todo $m>n$ $\alpha_m + \beta_{m} = \alpha_{m+1} + \beta_{m+1}$. Por lo tanto para todos $m>n$, $\alpha_i > \alpha_{i+1}$, la formación de un infinito descendente de la cadena en ORD.