Definición verdadera de los números reales

Question

He encontrado un montón de recursos que dicen que esto es un número real si no es racional, pero ¿qué es un número real, verdad? ¿Me refiero a cuál es la definición de un número real? ¿Si nada mas, alguien sabe de un recurso donde podía saber yo?

¡ Gracias!

Answer 1

No hay una "verdadera" definición de los números reales, porque hay varias maneras de pensar de los números reales , ya sea como conceptos matemáticos (es decir, no nos interesa lo que son los objetos que representan los números, acabamos de atención acerca de la estructura) y hay maneras concretas para la construcción de los números reales, por ejemplo, como conjuntos de los números racionales o clases de equivalencia de las secuencias.

La estructura de los números reales es único. Es una orden de campo, que es el fin de completar. También es la única completa de Arquímedes campo. Esto significa que si construimos cualquier otro campo que es ordenado y el fin de completar, a continuación, hemos construido algo que es isomorfo a los números reales.

Por lo general, si aceptamos los números racionales como "atómica" (es decir, objetos cuya existencia se da por sentado, y no investigar más a fondo), a continuación, los números reales pueden ser construidos ya sea como particular conjuntos de racionales, llamado Dedekind cortes, o como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy.

Es una tarea no trivial (al menos sin ver un par de veces antes) para demostrar que la definición que nos da esta estructura que buscamos. Que completa ordenó campo. Incluso es menos trivial para probar realmente la singularidad de esa estructura. No voy a entrar en cualquiera de las asignaturas.

En la definición que podemos encontrar los racionales están incrustados en los números reales, y en la mayoría de los casos en que pensamos acerca de los racionales como parte de los números reales tanto como pensamos acerca de enteros racionales números.

Una observación final es que si uno prefiere no aceptar los números racionales como la atómica, entonces es posible la construcción de los números enteros, y podemos construir los de los números naturales, y de hecho podemos construir aquellos que sólo desde el conjunto vacío.

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Para leer más:

1. La terminación de los números racionales a través de secuencias de Cauchy
2. pregunta acerca de la construcción de los números reales
3. La construcción de $\mathbb R$
4. ¿Por qué el Dedekind Corte de trabajo lo suficientemente bien como para definir los Reales?
5. La construcción de la $\Bbb R$ $\Bbb Q$
6. En la teoría de conjuntos, ¿cómo son los números reales se representan como conjuntos?

Answer 2

Empezamos con números naturales $$\mathbb N=\{0,1,2,...\}$$, a continuación, expanda a ad ellos los números negativos para obtener el conjunto de los números enteros $$\mathbb Z=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$$. El próximo paso es la definición de la división de números y si dividimos dos números enteros el resultado no es siempre un número entero, a continuación, definimos los racionales o fracciones $$\mathbb Q=\{\frac{a}{b}:a,b\in\mathbb Z,b\neq 0\}$$ Cantor demostró que los tres conjuntos son equivalentes o contables. Históricamente el problema vino cuando los antiguos griegos quieren encontrar la diagonal de un cuadrado de tamaño de 1 $\sqrt2$ luego Pitagora o Euclides demostró que $\sqrt2$ no puede escribirse como cociente de dos números enteros. Por lo $\sqrt2$ no es un números racionales. Todos los números que no pueden ser escritos como la proporción de números enteros nos llame a los números irracionales. El conjunto de los números irracionales se denota por $$\mathbb I$$ Cantor proved that the set $\mathbb yo$ is uncountable finally the set of real numbers is $$\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I$$

Answer 3

Aquí es Whitehead Y Russell de la definición de número real en Principia Mathematica, cuya sencillez no ha sido igualado por ningún otro construcciones de reales.

*1. Un ratios es $\mu/\nu$ donde $\mu$ $\nu$ son los números cardinales (números naturales).

*2 $H$ ser la relación "menor que" en el campo de todas las proporciones.

*2.1 Un segmento de $H$ es un conjunto de relaciones de cuyos miembros están a menos de algunos miembros (no necesariamente todos) los de otro conjunto de relaciones.

*3 es Un número real no es realmente un número; es un segmento de $H$.

*3.1 Algunos segmentos de la $H$ todos los coeficientes de menos de un solo término en $H$, están llamados racionales. E. g. "Todas las relaciones de menos de 1/2."

*3.2 Algunos otros segmentos de la $H$ no puede ser definido como el arrendador de cocientes de un solo término, pero sólo puede ser definido como el arrendador ratios de otro conjunto. Ellos son llamados irrationals. E. g. "Todos los cocientes cuyo cuadrado es menor que 2."

Para más detalles, vea este post o en el Capítulo XXXIII de Los Principios de las Matemáticas por Bertrand Russell.