Cayley gráficos en pequeño Diedro y Cíclico grupo

Question

Considere el siguiente problema

Deje $n \leq 5$ y deje $\Gamma = \mathrm{Cay}(C_{2n},S)$ ser el Cayley grafo con conjunto de Cayley $S$. Mostrar que $\Gamma$ es isomorfo a $\mathrm{Cay}(D_{2n},S')$ adecuado $S'.$

Recordemos que $\Gamma = \mathrm{Cay}(G,S)$ es un grafo de Cayley con conjunto de vértices $G$ si $G$ es un grupo, $S$ es un subconjunto de a $G\setminus\{e\}$ cerrado para tomar inversas y dos vértices $u,v \in G$ son adyacentes iff $uv^{-1} \in S.$

No es muy difícil resolver el problema anterior por bruteforcing. El caso de al $n = 1$ es trivial. Para los otros casos se observa, por ejemplo, que si $|S| = 1$ $\Gamma$ es un discontinuo de la unión de $K_2$, y del mismo modo, si $|S| = |G|-1$ $\Gamma$ es el grafo completo.

Uno es de izquierda a considerar los valores específicos de $|S|$ a deducir que el problema planteado es cierto para $n \leq 5.$

Lo que me preguntaba es si hay algún otro, más corto, para probar este ejercicio quizás el empleo de algunas de las propiedades de los grupos pequeños y Sabidussi del Teorema?

Answer 1

Este es un intento de convertir Chris Godsil argumento en una respuesta. Esperemos que alguien puede comprobar también es correcto. Estoy un poco sospechoso acerca de la prueba sobre todo porque yo nunca uso el hecho de que $n \leq 5.$

En la prueba vamos a utilizar los siguientes dos hechos

• Hecho 1. (Sabidussi) $\Gamma$ es un grafo de Cayley $\rm{Cay}(G,S)$ si y sólo si $\rm{Aut}(\Gamma)$ contiene un subgrupo isomorfo a $G$ que actúa regularmente en $V(\Gamma).$

• Hecho 2. Un subgrupo $G \leq \rm{Sym}(\Omega)$ es regular si y sólo si es transitivo y $|G| = |\Omega|.$

Deje $\Gamma = \rm{Cay}(C_{2n},S)$ donde $\langle g \rangle = C_{2n}.$ Ahora los mapas $r,s:C_{2n} \mapsto C_{2n}$ definido por las reglas $$ r(x) = g^2 x$$ and $$s(x) = x^{-1}$$ are clearly automorphisms of $\Gamma$ and hence $H = \langle r,s \rangle \leq \rm{Aut}(\Gamma).$ Moreover $H$ is isomorphic to the dihedral group of order $2n.$ $H$ acts transitively on $V(G)$ and is hence regular on $V(\Gamma)$ by Fact 2. So by Sabidussi's Theorem $\Gamma$ is isomorphic to $\rm{Cay}(H,S)$ lo que demuestra la declaró reclamación.