Si usted tiene 10 bolas y 5 cajas de lo que se espera que el número de cajas con pelotas. La probabilidad de que cada pelota que sale de forma independiente en el cuadro de $i$$p_i$$\sum_{i=1}^5 p_i =1$. También, ¿cuál es el número esperado de cajas que tienen exactamente una pelota. Para la parte 1, no es la respuesta relacionada con el número de soluciones de la ecuación de $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 10$ donde todos los $x$s pueden tomar números enteros no negativos? Y para la segunda parte, no es el número de positivos soluciones?
Respuestas
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En primer lugar, describir de manera informal el modelo de probabilidad. Cogemos la primera bola, y elegir al azar una caja para poner la pelota en, con todas las opciones igualmente probables. Nosotros, a continuación, de forma independiente el mismo procedimiento con la segunda pelota, la tercera bola, y así sucesivamente.
Número esperado de Cajas Vacías: Para $i=1, 2, \dots, 5$, defina la variable aleatoria $X_i$ $X_i=1$ si el Cuadro de $i$ termina con cero bolas, y por $X_i=0$ lo contrario. Vamos $$X=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5.$$ A continuación, $X$ es el número total de cajas que terminar con el cero bolas en ellos. Tenga en cuenta que $$E(X)=E(X_1+X_2+\cdots+X_5)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_5).$$ Siguiente calculamos $E(X_i)$. Para cualquier $i$, $X_i=1$ si $10$ veces en una fila escogimos uno de los otros cuadros. Por lo tanto $P(X_i=1)=(4/5)^{10}$. De ello se sigue que $$E(X_i)=\left(\frac{4}{5}\right)^{10}.$$ Ahora el cálculo de $E(X)$ es fácil: $$E(X)=5\left(\frac{4}{5}\right)^{10}.$$
Número esperado con $1$ Pelota: La misma idea funciona. Vamos variable aleatoria $Y_i$ valor $1$ si el Cuadro de $i$ termina con $1$ pelota, y el valor de $0$ lo contrario. Deje $Y=Y_1+Y_2+\cdots+Y_5$. A continuación, $Y$ es el número de cuadros con precisión $1$ pelota. Queremos $E(Y)$.
La probabilidad de que el Cuadro de $i$ tiene precisamente una pelota está dada por $$P(Y_i=1)=\binom{10}{1}\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^9.$$ A continuación,$E(Y_i)=P(Y_i=1)$, e $E(Y)=5E(Y_i)$.
Comentario: Nosotros, en principio, podría hacer frente a la primera pregunta por la búsqueda de la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$, y, a continuación, utilizando la expresión ordinaria de la expectativa. Del mismo modo, podemos encontrar la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $Y$. Pero las funciones de distribución de probabilidad son un poco difíciles de calcular. El (estándar) procedimiento que hemos utilizado elude el problema de encontrar estas distribuciones. Es una técnica muy potente, con muchas aplicaciones.
Vadim Dukhovny
Puntos
1
El método más fácil de utilizar para resolver este problema es encontrar la suma de la expectativa de variables aleatorias, como André Nicolás ya ha demostrado. Me gustaría añadir un punto menor: el problema en realidad no estatales que las probabilidades son iguales. Sólo dice que la suma de las probabilidades es 1.
Utilizando el método de tomar la suma de variables aleatorias, hagamos la primera parte del problema. Deje que nuestro experimento involucrar a caer todos los diez bolas en los cinco cajas. Utilizamos un indicador de la variable aleatoria $X_i, i = 1, 2, 3, 4, 5$ donde $X = 1$ si el cuadro de $i$ está vacía (esto es un éxito) y $X = 0$ si no lo es (esto es un fallo). $E[X_i] = 1*(1 - p_i)^{10}$, y hay cinco cajas, por lo $E[X] = \sum\limits_{i = 1}^{5}(1 - p_i)^{10}$.
Merece la pena repetir que este método no requiere de la independencia, como André Nicolás también ha señalado anteriormente.
