Sé que no decreciente cadlag funciones (las funciones que están a la derecha continua con la izquierda límites) en $[0,\infty)$ tiene a lo más un conteo del número de discontinuidades. ¿El mismo resultado pulsado durante más general (no necesariamente no decreciente) cadlag funciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Claramente no es suficiente para demostrar que sólo hay countably muchas discontinuidades en cualquier intervalo de $[0,n]$.
La existencia de la izquierda y a la derecha de los límites significa que para todos los $x$, y para todos los $N$, existe un $\epsilon_{x,N}$ con:
$$\forall y,z \in B(x; \epsilon_{x,N}): (y-x)(z-x) > 0 \implies |f(x)-f(z)| <\frac1N$$
donde el antecedente asegura que $y$ $z$ están en el mismo lado de la $x$.
Por la compacidad de $[0,n]$, un número finito de la $B(x;\epsilon_{x,N})$ cubierta $[0,n]$.
Eso es, excepto para un número finito de puntos (los centros de $x$ para el revestimiento de las bolas), podemos estar seguros de que no hay discontinuidad de tamaño más grande que $\frac1N$ existe en $[0,n]$.
Por lo tanto, para cada una de las $N$, el conjunto:
$$\left\{x \in [0,n]: \left|\lim_{\xi\to x^+}f(\xi) - \lim_{\xi\to x^-}f(\xi)\right| > \frac1N\right\}$$
es finito. De ello se sigue que el conjunto de discontinuidades en $[0,n]$:
$$\left\{x \in [0,n]: \lim_{\xi\to x^+}f(\xi) \ne \lim_{\xi\to x^-}f(\xi)\right\} = \bigcup_{N \in\Bbb N}\left\{x \in [0,n]: \left|\lim_{\xi\to x^+}f(\xi) - \lim_{\xi\to x^-}f(\xi)\right| > \frac1N\right\}$$
es contable, y por lo tanto también lo es:
$$\left\{x \in [0,\infty): \lim_{\xi\to x^+}f(\xi) \ne \lim_{\xi\to x^-}f(\xi)\right\} = \bigcup_{n \in \Bbb N}\left\{x \in [0,n]: \lim_{\xi\to x^+}f(\xi) \ne \lim_{\xi\to x^-}f(\xi)\right\}$$
