Mi copia de Silverman está en mi oficina, así que no puedo recordar/comprobar todos los pedazos de la llave. Sólo tengo este presentimiento de que esto está relacionado con la existencia de un orden cuatro automorphism de curvas elípticas de este tipo. Esto es demasiado largo para caber en un comentario, así que una respuesta es.
Para mover el elemento de identidad para el origen, $(z,w)=(0,0)$ hacemos el habitual cambio de coordenadas $z=-x/y$, $w=-1/y$. La ecuación de esta curva se convierte entonces en
$$w=z^3+Azw^2\quad(*)$$ making the automorphism $\sigma:z\mapsto iz, w\mapsto -iw$ stand out. The formal group law $F(z_1,z_2)$ basically works with that $z$-coordinate. Given that $\sigma$ es un automorphism de la curva elíptica, el grupo formal de la ley debe satisfacer
$$
F(\sigma(z_1),\sigma(z_2))=\sigma(F(z_1,z_2)).
$$
En otras palabras, debemos tener
$$
F(iz_1,iz_2)=si(z_1,z_2)\qquad (**)
$$
para todos los $z_1,z_2\in\Bbb{C}$.
Su reclamo se sigue inmediatamente de $(**)$, debido a un no-cero homogénea plazo $F_n(z_1,z_2)$ grado $n$ debe satisfacer tanto $F_n(iz_1,iz_2)=iF_n(z_1,z_2)$ y
$F_n(iz_1,iz_2)=i^nF(z_1,z_2)$. Por lo tanto, $i^n=i$ siempre $F_n\neq0$.
El automorphism $\sigma$ también las fuerzas de la potencia de la serie solución de $w=w(z)\in\Bbb{C}[[z]]$ $(*)$ solo a términos de grados $\equiv 3\pmod 4$. Siendo oxidado, pensé por primera vez que tenemos que utilizar el que, de alguna manera, pero los cálculos me asustan.
