Identidades que implican productos vectoriales cruzados y de caja

Question

¿Cómo se puede demostrar que

$$[a \times b \,\,\, b \times c \,\,\, c \times a] = [a \,\,\, b \,\,\,c]^2?$$

Sé que $[\,\cdot \,\,\, \cdot \,\,\, \cdot \,]$ es el producto de la caja. ¿Debo asumir que $a,b,c$ son los vectores unitarios $i, j, k$ ?

Answer 1

Sugerencia Intenta escribir $$[\vec{a}\times \vec{b} , \vec{b}\times \vec{c} , \vec{c}\times \vec{a}] = (\vec{a}\times \vec{b}).((\vec{b}\times \vec{c})\times(\vec{c}\times \vec{a})) $$ Si se sustituye por $\vec{p}=(\vec{c}\times \vec{a})$ , $$RHS = (\vec{a}\times \vec{b}).((\vec{b}\times \vec{c})\times \vec{p})$$ $$=(\vec{a}\times \vec{b}).((\vec{b}.\vec{p})\vec{c} - (\vec{c}.\vec{p})\vec{b})$$ $$=(\vec{a}\times \vec{b}).([\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{c} - \vec{0})$$ $$ = [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]^2$$