$|\chi(\mathfrak{a})| = 1$ para cualquier ideal $\mathfrak{a}$?

Question

Deje $K$ ser un campo de número, $Cl(K)$ el ideal del grupo de clase, $\chi: Cl(K) \to \mathbb{C}^\times$ un homomorphism. Si $\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K$ es cualquier ideal, vamos a $[\mathfrak{a}]$ denotar su ideal de clase en $Cl(K)$, y definir $\chi(\mathfrak{a}) = \chi([\mathfrak{a}])$.

¿Cómo puedo ver que $|\chi(\mathfrak{a})| = 1$ para cualquier ideal $\mathfrak{a}$?

Answer 1

Desde el grupo $Cl(K)$ es finito (Dirichlet) cada elemento es de torsión, por lo que es enviado a una torsión de elemento de $\mathbb C^*$, es decir, una raíz de la unidad, necesariamente de valor absoluto $1$.