¿Podemos obtener resultados poco evidentes definiendo topologías sofisticadas?

Question

Lo que al principio me pareció tan interesante de la topología general fue lo general que es una topología, y cómo la terminología abierto, cerrado, compacto, continuo, convergencia, etcétera, significa algo completamente distinto según la topología que utilicemos. Me parecía que cada resultado era en realidad un resultado POR elección de topología. Pero el curso que hice se centraba sobre todo en el espacio real y la topología euclidiana, el principio de acotación y la equivalencia de normas. Admito que todo esto es útil en la práctica, pero no era lo que hacía que la topología pareciera tan interesante.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe algún caso en el que diseñemos una topología inusual con la intención de demostrar resultados específicos no evidentes? El trabajo consistiría entonces en demostrar que es una topología, cómo son exactamente las funciones continuas, qué es la compacidad, etcétera. ¿Y luego invocar un teorema general para obtener el resultado?

Answer 1

Lo que has escrito suena como una muy buena descripción de todo el campo de la análisis funcional . Se construyen topologías en varios espacios de funciones y se utilizan propiedades topológicas para demostrar cosas.

Por ejemplo, si se busca una función con ciertas propiedades (digamos, una que resuelva una ecuación diferencial determinada), una técnica habitual es construir una secuencia de funciones que "aproximadamente" tengan esas propiedades, y utilizar la compacidad para afirmar que la secuencia tiene un punto límite. A continuación, utilizando algún tipo de continuidad, se afirma que el punto límite tiene exactamente las propiedades deseadas. A menudo, la topología se ha construido específicamente para proporcionar dicha continuidad.

Por ejemplo $L^p$ espacios de Sobolev, espacios de funciones continuas y de distribuciones (funciones generalizadas), y muchos más.

Answer 2

Sea $G$ sea un grafo infinito, tal que todo subgrafo finito de $G$ puede colorearse con $k$ colores. ¿Es necesario que $G$ puede colorearse con $k$ ¿Colores?

La respuesta es sí, y para demostrarlo empezaremos definiendo una topología sobre el espacio de todas las coloraciones de $G$ .

Sea $V$ sea el conjunto de vértices de $G$ . Una coloración de $G$ - no necesariamente legal - es sólo una función $f : V \to A$ donde $A$ es el conjunto finito de $k$ colores. Denotemos el espacio de todas las coloraciones por $X$ .

Podemos topologizar $X$ tomando un conjunto abierto básico de la forma $U_{v,c}$ donde $v$ es un vértice de $G$ , $c$ es algún color en $A$ y $U_{v,c}$ es el conjunto de esas coloraciones $f \in X$ tal que $f(v)=c$ . Un poco de pensamiento revela que esto es sólo el espacio producto espacio $A^V$ donde $A$ recibe la topología discreta.

Hay un teorema muy poco trivial de Tychonoff que dice que el producto de espacios compactos vuelve a ser compacto. Así que el espacio $X$ es compacto. Esto implica que toda colección de subconjuntos cerrados de $X$ con la propiedad de intersección finita (la intersección de un número finito de conjuntos de la colección es no vacía) tiene una intersección no vacía.

Sea $H$ sea un subgrafo finito de $G$ . Si $f$ es una coloración de $G$ podemos obtener una coloración de $H$ restringiendo $f$ al conjunto de vértices de $H$ . Por supuesto, si $f$ fueran una coloración válida de $G$ restringiéndolo a $H$ da una coloración válida de $H$ - en $H$ hay menos vértices y aristas de los que preocuparse.

A la inversa $f$ sea una coloración de $G$ y supongamos que al restringir $f$ a cada subgrafo finito de $G$ da una coloración válida. Afirmo que $f$ es una coloración válida de $G$ también. Supongamos que no. Entonces hay vértices $u,v$ conectadas por una arista tal que $f(u) = f(v)$ . Pero entonces la restricción de $f$ al subgrafo finito $H$ que consta de los vértices $u,v$ y el borde entre ellos, no es una coloración legal. Esto contradice nuestra suposición inicial.

Así que vamos a encontrar una coloración de $f$ de $G$ cuya restricción a cada subgrafo finito es legal y esto demostrará nuestro teorema.

Si $H$ es un subgrafo finito de $G$ , dejemos que $C_H$ denota el conjunto de aquellas coloraciones de $G$ cuya restricción a $H$ es legal. Por hipótesis $C_H$ no es vacío para cada $H$ . Además, el conjunto $C_H$ está cerrado. Porque si $f$ es una coloración de $G$ que se encuentra fuera $C_H$ entonces hay vértices $u,v$ de $H$ conectadas por una arista en $H$ tal que $f(u) = f(v)$ . El conjunto de $U$ de esos $g$ que coinciden con $f$ en $u,v$ está abierto y contiene $f$ pero es disjunta de $C_H$ (no hay tal $g$ puede ser válida si se limita a $H$ ). De ello se deduce que $C_H$ es cerrado, ya que su complemento contiene una vecindad de cada uno de sus puntos.

Por último, la familia ${C_H}$ goza de la propiedad de intersección finita: si $H_1, ..., H_n$ son subgrafos finitos, entonces una coloración válida de su unión es una coloración válida de cada uno de ellos individualmente. Por tanto, $C_{H_1 \cup ... \cup H_n}$ es un subconjunto no vacío de $C_{H_1} \cap ... C_{H_n}$ .

Por compacidad, la intersección de todas las $C_H$ para $H$ un subgrafo finito, no es vacío. Si $f$ es un elemento de la intersección, entonces es una coloración válida de cada subgrafo finito por definición, y por lo tanto, por lo anterior, una coloración válida de $G$ .

La demostración anterior es muy similar a la demostración de que el teorema de la compacidad en topología da lugar al teorema de la compacidad para el cálculo proposicional; por tanto, la compacidad lógica y topológica son nociones distintas, pero relacionadas.

Answer 3

Aquí tienes un buen ejemplo de lo que buscas: La prueba de Furstenberg de la infinitud de los primos. http://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes

Answer 4

André Weil imaginó qué ocurriría si una variedad algebraica proyectiva no singular sobre un campo finito tuviera una topología que satisficiera ciertas propiedades (es decir, que tuviera una "buena" teoría cohomológica, sea lo que sea eso). Partiendo de esta hipótesis, pudo demostrar resultados muy importantes sobre el recuento del número de puntos en dichas variedades (en un campo finito, el número de puntos es siempre finito). Artin conjeturó estos resultados por primera vez en el caso especial de las curvas. El problema era que no se conocía una topología con una buena teoría cohomológica. El sitio Weil conjetura nacieron.

Weil pudo demostrar las conjeturas para las curvas, pero no había ninguna esperanza para las variedades generales de dimensión $> 1$ . Grothendieck definió una nueva topología con el objetivo principal de demostrar las conjeturas de Weil. No se trata exactamente de una topología, sino de lo que se conoce como una Topología de Grothendieck . Lo esencial es que lo más importante (en geometría algebraica) es que una topología permita hablar de cubiertas y refinamientos de cubiertas. Al exigir únicamente que una "topología" satisfaga los axiomas relativos a las cubiertas, se permite una mayor flexibilidad. Con esta flexibilidad en mente, Grothendieck definió y desarrolló varias topologías y cohomologías, entre las que destacan la topología étale y la topología I-ádica.

Al demostrar teoremas para estas topologías que son paralelos a teoremas bien conocidos para topologías más "habituales", un programa de unos veinte años pudo demostrar la mayoría de las conjeturas de Weil. Sólo quedaba la hipótesis de Riemann. Grothendieck esbozó un programa de conjeturas estándar que, en última instancia, conducirían a la demostración de la hipótesis de Riemann. Estas conjeturas siguen en gran medida abiertas. Deligne pudo demostrar la hipótesis de Riemann con un argumento completamente distinto que no era paralelo a teoremas bien conocidos de la topología "habitual". Su demostración le valió la medalla Field.