La motivación y la Derivación de la Ecuación de Riccati Transformación

Question

Dada una Ecuación de Riccati que es la ecuación diferencial de la forma:

$$ \frac{dy}{dx} = a_0 (x) + a_1 (x)y + a_2 (x)y^2 $$

Es bien sabido que la transformación:

$$ y = -\frac{1}{a_2(x)} \frac{\frac{du}{dx}}{u} $$

Se puede sustituir en esta ecuación para transformarlo en un segundo orden de la ecuación diferencial lineal (que después de simplificar el álgebra es)

$$ a_0(x)a_2(x) u - (a_1(x)a_2(x) + 1) \frac{du}{dx} + a_2(x)\frac{d^2u}{du^2} = 0 $$

Mi pregunta es: ¿Cómo se hace derivar esta transformación a partir de cero. Puesto que si bien es fácil demostrar que la transformación obras no revelan cómo fue encontrado.

Answer 1

El punto importante no es que la transformada de la ecuación es de segundo orden, sino que es lineal. A menudo, un lineal de segundo orden de la educación a distancia es más fácil de resolver que una no lineal de primer orden de la educación a distancia.

Si una solución particular de la ecuación de Riccati se sabe, no hay ningún interés de transformar la ecuación de Riccati, porque podría ser resuelto directamente. Pero no siempre es posible en primer lugar, encontrar una solución particular. Entonces, la transformación lineal de segundo orden la educación a distancia puede ser útil en muchos casses, especialmente cuando las soluciones que involucran funciones especiales.

Por ejemplo : $y' = -2\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x}+x $ puede ser transformado a un segundo orden de la ODA de Bessel del tipo que permite resolver la ecuación de Riccati en términos de funciones de Bessel. Sin esta transformación, sería casi impossble primero encontrar una solución particular de una manera, bastante imposible resolver la no lineal de primer orden de la educación a distancia.