Integrabilidad de la transformada de fourier

Question

Deje $f\in L^1(\mathbb{R})$ tal de que no existe $R,\delta >0$ que $f$ está delimitado en $[-\delta, \delta]$ y $\hat{f}(\xi)\geq 0$ $|\xi|\geq R$ . A continuación,$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})$.

A grandes rasgos, si hemos sido capaces de utilizar la inversión de la fórmula tendríamos $\int |\hat{f}|=\int \hat{f}=f(0)$ y obtendríamos el el resultado de acotamiento de $f$. No sé cómo hacer que esta idea rigurosa o si es el camino correcto.

Answer 1

Ya que no sabemos a priori que $\widehat{f}\in L^{1}(\mathbb{R})$, usted puede simplemente utilizar la inversa de la transformada de Fourier. En su lugar, debe utilizar una forma más general de Fourier de la inversión de la fórmula que convolves $f$, con una "buena" kernel $\varphi$, de modo que la función de $\widehat{f\ast\varphi}=\widehat{f}\widehat{\varphi}\in L^{1}(\mathbb{R})$. Además, desea que el kernel $\varphi$ a ser "bien localizado" sobre el origen (por ejemplo, tamaño compacto) para aprovechar el acotamiento de $f$ aquí.

El truco para usar el nonnegativity hipótesis es que el $\left|\widehat{f}\right|-\widehat{f}\in L^{1}(\mathbb{R})$, ya que se trata de una limitada función de soporte compacto por la hipótesis de que la $\widehat{f}(\xi)\geq 0$$\left|\xi\right|\geq R$. La conclusión deseada, a continuación, de la siguiente manera a partir de una más general resultado.

En lo que sigue a continuación, mi definición de la transformada de Fourier, para $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$, es

$$\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}dx,\qquad \xi\in\mathbb{R}^{n}$$

La proposición. Deje $f\in L^{1}(\mathbb{R})$. Si $\left|\widehat{f}\right|-\widehat{f}\in L^{1}(\mathbb{R})$ $f$ está delimitada en un barrio de origen,$\widehat{f}\in L^{1}(\mathbb{R})$.

La prueba presenta a continuación se puede encontrar en forma más concisa en el libro [R. M. Trigub y E. S. Bellinsky, análisis de Fourier y la aproximación de funciones. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2004.], pero en caso de no tener acceso aquí está.

Prueba. Recordemos que la transformada de Fourier de la función característica $\chi_{[-h,h]}$ está dado por

$$\widehat{\chi}_{[-h,h]}(\xi)=\dfrac{e^{-2\pi ih\xi}-e^{2\pi ih\xi}}{-2\pi i\xi}=\dfrac{\sin(2\pi h\xi)}{\pi\xi} \tag{1}$$

Esta función es de cuadrado integrable, y $\widehat{\chi}_{[-h,h]}=\widehat{\chi_{[-h,h]}\ast\chi_{[-h,h]}}$ por el teorema de convolución. Conjunto

$$\varphi_{h}(x):=\dfrac{1}{(2h)^{2}}\chi_{[-h,h]}\ast\chi_{[-h,h]}(x)\tag{2}$$

Usando la desigualdad de $\left|\sin\xi\right|\leq\left|\xi\right|$, tenemos que

\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\left|\widehat{f}(\xi)\right|\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}d\xi&=\left|\int_{\mathbb{R}}\left[\left|\widehat{f}(\xi)\right|-\widehat{f}(\xi)\right]\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}d\xi+\int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(\xi)\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}d\xi\right|\\&\\ &\leq\int_{\mathbb{R}}\left|\left|\widehat{f}(\xi)\right|-\widehat{f}(\xi)\right|d\xi+\left|\int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(\xi)\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}d\xi\right|\tag{3} \end{align*}

Dado que el integrando de el segundo término de (3) pertenece a $L^{1}$, podemos aplicar la transformada de Fourier de la inversión para obtener

\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(\xi)\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}e^{2\pi i \xi x}d\xi&=(f\ast\varphi_{h})(x)=\dfrac{1}{(2h)^{2}}\int_{-h}^{h}\int_{-h}^{h}f(x-t-s)dtds,\tag{4} \end{align*} donde usamos el hecho de que la igualdad tiene en todas partes desde ambos lados son continuas. Para $\left|x\right|\leq\delta/8$ $0<h\leq\delta/8$ el integrando en el lado derecho de (4) es acotado por una constante $M>0$, de donde

\begin{align*} \left|\int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(\xi)\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}d\xi\right|\leq M\tag{5} \end{align*}

Llegamos a la conclusión de Fatou del lema que

\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\left|\widehat{f}(\xi)\right|d\xi=\int_{\mathbb{R}}\liminf_{h\rightarrow 0}\left|\widehat{f}(\xi)\right|\left(\dfrac{\sin 2\pi h\xi}{2\pi h\xi}\right)^{2}d\xi\leq \int_{\mathbb{R}}\left|\left|\widehat{f}(\xi)\right|-\widehat{f}(\xi)\right|d\xi+M\tag{6} \end{align*} $\Box$