holomorphic función compleja tal que $f(\frac{1}{n})=n\space$ pero $f$ no es idéntica $1/z$

Question

Pregunta: Encontrar una función $f(z)$ holomorphic en $\{0<|z|<1\}$ tal que $f(\frac{1}{n})=n\space$ para cada entero $n >1 $, pero por lo que $f$ no es idéntica $1/z$.

He intentado solucionar esto y encontré que por el uniquness teorema, una función no puede tener un polo en $z=0$, por lo tanto esta función debe tener una singularidad esencial en a $z=0$. Aunque no podía proceder de aquí...

Cualquier sugerencia sería de ayuda, Gracias!

Answer 1

La función de $f(z) = (1/z)e^{2\pi i/ z}$ es holomorphic en $\{0 < |z| < 1\}$ y satisface $f(\frac{1}{n}) = ne^{2\pi i n} = n$ todos los $n\in \Bbb N$. Por otra parte, $f(z)$ no es idéntica $1/z$.

Answer 2

Multiplicar $z\mapsto 1/z$ por un holomorphic función de $g$ $\{0<|z|<1\}$ tal que $g(1/n)=1$ por cada $n$. Por ejemplo, $g(z)=\cos( 2\pi /z)$.

Answer 3

Considere la posibilidad de:

$$f(z)=\frac{1}{z}+\sin \left(\frac{\pi}{z}\right)$$

Que significa agregar cualquier holomorphic función de $g$ $\{0<|z|<1\}$ a sí mismo con $f$ tal que $g(\frac{1}{n})=0$.