Puede el sistema de turnos de una $L^2(\mathbb{R})$ función de ser un ONB?

Question

En la teoría de Wavelets, una de las construcciones wavelet bases a través de las traducciones de un dialations de una $L^2$ función... Es posible que algunas de las traducciones solo para formar una Base Ortonormales? Que es:

1. ¿Existe $w \in L^2 (\mathbb{R})$ $S$ un subconjunto de los números reales, de manera que la familia se traduce $\{w(t-s)\}_{s\in S}$ es un ONB para $ L^2$?

2. Si es así, podemos recoger $ S $ a ser sólo números enteros? Si no, podemos recoger $ S $ a ser sólo números enteros si se relaja el requisito de ser sólo un sistema completo en lugar de un ONB?

ACTUALIZACIÓN: Para el caso de $ S =\mathbb{R} $, podemos ver que no es completo al darse cuenta de las transformadas de fourier son todos los $\hat{w} $ veces $1-$funciones periódicas... y el resultado es fácil a partir de ahí. Parte 1 sigue abierto!

Answer 1

ONB? Seguramente no, no es que tengo una prueba. Otoh si $S$ es denso, entonces no existe $f$ de manera tal que el cerrado espacio de la traduce de $f$ por elementos de $S$ es de $L^2$. Sospecho que si $S$ no es denso no puede existir una $f$; ver más abajo por qué sospecho que esto.

Decir $\tau_x f(t)=f(t-x)$.

Decir $f\in L^2$ satisface $\hat f\ne0$ en casi todas partes. Si $g$ es ortogonal a $\tau_x f$ por cada $x\in S$, entonces la convolución $f*h$ se desvanece en $S$ donde $h(t)=g(-t)$. Supongamos $S$ es densa. Desde $f*h$ es continua, se sigue que $f*h=0$. Por lo tanto $\hat f\hat h=0$, por lo tanto $\hat h=0$, lo $g=0$.

Ahora si $S$ no es denso que exista $\phi\in L^1$ $\phi\ne0$ tal que $\hat\phi$ se desvanece en $S$. Esto no acaba de mostrar que el $\tau_x f$ $x\in S$ no puede abarcar $L^2$, pero parece como pruebas a tal efecto; decir aquellos que se traduce de $f$ no abarcan $L^2$ es lo mismo que decir que podemos tomar $\phi=\hat f\hat g$ algunos $g\in L^2$.