Cómo probar $0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots $ es irracional.

Question

Pregunta:

Definir la secuencia de $\{a_{n}\}$,y tal $$a_{n}\in \{0,1,2\},a_{n}\equiv \binom{2n}{n}\pmod 3$$

demostrar que: $0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots $ es irracional.

Mi idea: he encontrado $$a_{1}=2,a_{2}=0,a_{3}=2,a_{4}=1,a_{5}=0,a_{6}=0,a_{7}=0,a_{8}=0,a_{9}=1$$

entonces yo no puedo probarlo.Gracias

Answer 1

Vamos a demostrar que hay arbitrariamente largas secuencias consecutivas $0$s en la expansión decimal. Esto va a demostrar que la expansión es aperiódica y que el número es irracional.

Considere la posibilidad de Kummer del teorema que dice que el mayor poder de $p$ divide el coeficiente binomial $\binom{n}{m}$ está dado por el número de carreras al $m$ $n-m$ base $p$. Un corolario inmediato de Kummer del teorema para nuestros propósitos es este:

Lema: Hemos $$\binom{2n}{n}\equiv 0\pmod{3}$$ si y sólo si la base-$3$ expansión de $n$ contiene un $2$.

Prueba: Por Kummer del teorema, la máxima potencia de $3$ la división de la central de coeficiente binomial es igual al número de lleva al $n$ es añadido a sí mismo en base-$3$. Un $2$ en la expansión requiere llevar y por lo $3$ debe dividir $\binom{2n}{n}$.

Por el contrario, si la base-$3$ expansión de $n$ no contiene $2$ no se lleva. Por lo tanto, $3$ no dividir $\binom{2n}{n}$. $\square$

Ahora la secuencia de números de $2\cdot 3^k$ $3^{k+1}-1$todos tienen base $3$ expansiones comienzo con un $2$ y así formar un bloque de consecutivo $0$s de la longitud de la $3^k - 1$ en la expansión de nuestro número. Esto significa que nuestro número es necesariamente irracional.

Answer 2

Me gustaría sugerir el uso de Lucas Teorema de http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem para mostrar que hay un número arbitrario de términos consecutivos en la secuencia de $a_i$ que será igual a $0$ ($1$ o $2$), de esta manera usted puede demostrar que el número de $0.a_1a_2a_3 \ldots$ no recurrentes decimal y, por tanto, irracional.

Nota: cuando digo un número arbitrario de términos consecutivos: me refiero a que un número como $0.1001000100001 \ldots$ han arbitraria de ceros entre el $1'$s por lo tanto las cifras decimales no periódicas.