Teoría de números: Encontrar$m\equiv 1\pmod4$, de modo que $x^2\equiv -1\pmod{m}$ no tiene solución.

Question

Tengo este problema que estoy un poco atascado en:

Encontrar$m\equiv 1\pmod4$, de modo que $x^2\equiv -1\pmod{m}$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$.

Hasta ahora, sé que $m$ no puede ser porque el primer $(\frac{-1}{p})=1$, $p$ prime, siempre que $p\equiv 1\pmod4$ donde $(\frac{}{})$ es el símbolo de legendre.

También, he considerado los siguientes: $m=4k+1$, por lo que

$(\frac{-1}{m})=(\frac{4k}{m})=(\frac{4}{m})(\frac{k}{m})=(\frac{k}{m})$, pero de nuevo me quedo atascado aquí desde $m$ es compuesto.

Creo que no hay tal $m$, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Mi Prueba De Lo Lejos

Tenga en cuenta que si $m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}$, $p_i$ primer, $k_i\geq 1$, entonces por el Teorema del Resto Chino, $x^2\equiv -1\pmod{m}$ tiene una solución $\iff x^2\equiv -1\pmod{p_i^{k_i}}$ todos los $1\leq i\leq r$.

Así que vamos a tomar $m=p^k$, $p$ primer, $k\geq 1$.

Tenga en cuenta que debemos tener $k>1$ desde $k=1\implies m=p\implies (\frac{-1}{m})=1$ desde $m\equiv1\pmod4$.

...

Ahora, yo sé que $m=3^2=9$ obras, pero no estoy seguro de cómo probar que $({-1\over9})=-1$ desde $9$ es compuesto. Yo también soy no se permite usar el hecho de que $x^2\equiv a\pmod{p^n}$ tiene una solución $\iff ({a\over p})=1$ ya que no hemos cubierto este teorema en la clase.

Answer 1

Sugerencia: Si $m = p_1^{x_1} p_2^{x_2} \ldots p_k^{x_k}$, $a$ es un cuadrado mod $m$ si y sólo si $a$ es un cuadrado mod $p_i^{x_i}$, para todos los $i$, por el teorema del resto chino. Así que si $-1$ no es un cuadrado mod $m$, $-1$ no es un cuadrado mod $p^i$ para algunos prime $p$ y un entero positivo $i$. Así que usted puede ser que también acaba de dar $m = p^i$ algunos $i$.

Como usted ha observado, mirando el símbolo de Legendre, $i = 1$ no funciona. ¿Qué acerca de la $i \ge 2$? Pruebe algunos específicos de los números primos.

Answer 2

Si $m$ es primo, esto es imposible, ya $\biggl(\dfrac{-1}p\bigr)=(-1)^{\tfrac{p-1}2}$. Por lo tanto la idea es tomar el $m=pq$ donde $p\neq q\equiv3\mod4$. Por el teorema del resto Chino: $$\mathbf Z/m\mathbf Z\simeq\mathbf Z/p\mathbf Z\times\mathbf Z/q\mathbf Z$$ $-1$ no puede ser un cuadrado modulo $m$ ya que no es un cuadrado modulo $p$ ni $q$.

El más pequeño $m$ obtenido de esta manera se $m=\color{red}{21}$.

Answer 3

Es bien sabido que $x^2\equiv -1\bmod m$ tiene una solución al $m$ es primo de la forma$4k+1$, pero no cuando es de la forma $4k+3$.

Por eso, $m$ no puede ser primo. Pero puede ser el producto de dos números primos de la forma $4k+3$. El más pequeño de tales $m$$3 \cdot 7 = 21$.