¿Son ciertas afirmaciones como "Cada vez que he hecho X, ha sucedido Y" (vacuamente) si nunca he hecho X?

Question

Recientemente me he preguntado sobre las verdades vacías. Sé que una afirmación como "nunca me han ganado en una carrera" es verdadera si nunca he participado en una carrera, pero lo que me pregunto es si las siguientes afirmaciones son verdaderas:

"Cada vez que he comprado un billete de lotería, me ha tocado el premio gordo" (suponiendo que nunca haya comprado un billete de lotería)

"Siempre que Dave viene a una de mis fiestas, hace el ridículo" (Suponiendo que Dave nunca haya venido a una de mis fiestas)

Creo que estas afirmaciones son técnicamente ciertas, pero ha habido cierto desacuerdo cuando se trata de otros, así que quería estar seguro.

Answer 1

Si las juzgas con los estándares de la lógica formal, todas son vacuamente verdaderas. Sin embargo, el inglés normal y corriente no se rige por esas normas. El discurso normal también se rige en gran medida por consideraciones pragmáticas y el principio de cooperación y las máximas griceanas, que son violadas por tales afirmaciones vacuamente verdaderas. Así, la mayoría de la gente entenderá que tal afirmación implica que tienen hecho $X$ al menos una vez, y probablemente más de una, y que $Y$ ha ocurrido en cada una de esas ocasiones, y este entendimiento es perfectamente razonable fuera de un entorno matemático formal.

Answer 2

Además de la respuesta de Brian M. Scott, otra suposición a menudo oculta en el uso cotidiano de la implicación es la noción de que el antecedente "causa" de alguna manera el consecuente. En matemáticas, no existe la noción de causa y efecto.

En matemáticas, simplemente definimos $X \implies Y \equiv\neg(X\land \neg Y)$ . Ambos son verdaderos si $X$ es falso.

Puede ser útil imaginar que, en matemáticas, simplemente se describen patrones de símbolos en un gran libro, patrones que no cambian con el tiempo. Supongamos que, si se encuentra la letra p en este libro, entonces la siguiente carta será q . Entonces no dirías que encontrar la carta p "hace que la siguiente letra sea q . Pero se podría decir que nunca es el caso de encontrar la carta p y la siguiente letra no es q . También podría decir esto con sinceridad aunque la carta p nunca ocurrió en el libro.

Answer 3

La incomodidad de aceptar estas afirmaciones como verdaderas puede tomarse como prueba de que la lógica proposicional clásica puede divergir del razonamiento intuitivo o verbal humano sobre la implicación (ya sea con una narrativa causal o no).

En este caso, el significado constructivo [como en "matemáticas constructivas" o "lógica formal constructiva/intuicionista"] de $X \implies Y$ está más cerca de la marca: de una prueba de $X$ podemos construir una prueba de $Y$ o, menos formalmente, el conocimiento de $X$ puede transformarse correctamente en conocimiento de $Y$ . No es equivalente a las formas clásicas con negación, como "(no $X$ ) o $Y$ ", o "no ( $X$ verdadero y $Y$ falso)", en ausencia de medio excluido o de algún otro principio de razonamiento no constructivo. La segunda forma significa que la implicación es sin falsificar y la intuición conversacional sobre el $X/Y$ afirmación es más bien que podría ser falsificada al hacer $X$ que debe ser equivalente a que la implicación sea verdadera (simplemente porque las reglas clásicas de manipulación de las palabras Y, O y NO lo dirían; tal vez las reglas no se apliquen o nos parezca que no lo hacen).

Hay interpretaciones en la lógica modal (que también está relacionada con las interpretaciones de las lógicas libres de medio excluido) ya que los enunciados son dependientes del tiempo o contingentes de los hechos y no hechos pasados de $X$ . No estoy lo suficientemente familiarizado con la lógica modal para decir si esto sería más convincente que la interpretación constructiva.

Parece correcto, desde el punto de vista conversacional, llamar a los enunciados nunca instanciados (vacuamente) no falsificados o no probado pero no es una verdad vacía.

La afirmación sería vacuamente cierta en los casos en que el estado de $Y$ se sabe que es independiente del conocimiento sobre $X$ . Por ejemplo,

"cada vez que me iba a dormir, el sol salía a la mañana siguiente"

debe ser verdadera y no sólo no falsificada, si tenemos razones para aceptar que el sol saldrá por la mañana sin importar si determinadas personas duermen o no durante la noche. Esto es válido en cualquier lógica no clásica que se me ocurra, y tiene perfecto sentido conversacional: una implicación es vacuamente verdadera o vacuamente falsa si su premisa es irrelevante para sacar la conclusión.