Acerca de Newton Shell del Teorema de

Question

Newton demostró en Principia que el total de la gravedad de que una esfera ejerce sobre un punto material es el mismo que si toda la masa de la esfera fue concentrada en su centro.

Me pregunto si es posible demostrar que una esfera / cáscara esférica es la única forma con esta propiedad (o tal vez hay otras formas? Yo no sé).

Podemos definir el centro como "centro de masa", y sólo estoy interesado en la física Newtoniana (en contraposición a la física relativista).

Answer 1

Es muy fácil construir formas arbitrarias que tienen la propiedad de que el potencial gravitacional fuera es igual que toda la masa se concentra en un punto.

Comience con el potencial gravitacional de un punto:

$$ \phi(x) = - {M\over r}$$

A continuación, tomar cualquier forma, tomar anidada dos cubos para la definición. A continuación, hacer $\phi(x)$ ser una constante en el interior del interior del cubo más grande que el supremum de los valores fuera del cubo, y hacer que el aumento de potencial en una poco a poco hacia abajo-curva camino hacia el interior del cubo de valor.

A continuación, $\rho(x) \propto - \nabla^2 \phi$ es una distribución de masa que se produce en este campo, y $\nabla^2\phi$ es cero en el interior del interior del cubo y fuera de el exterior del cubo. La única cosa que usted necesita para comprobar es que la densidad de la masa está en todas partes positivas.

Si el positivo de la masa cosa no funciona en el primer intento, usted siempre puede hacer que el potencial en el interior del cubo más grande, o si lo peor, dibujar una esfera inscrita en el interior del cubo y una esfera circunscrita alrededor del exterior del cubo, y llene la región entre las dos esferas con un uniforme positiva de la densidad de la masa, que es igual a la máxima negativo de magnitud de la densidad en las plazas solo.

No es cierto que la esfera es la única forma con un pointlike exterior de campo, ni siquiera cerca.