$A\subset[0,1]$ es el conjunto de todos los números con representación binaria $0.c_1c_2c_3...$ donde $c_i=0,1$ todos los $i$ $c_{i-1}c_{i+1}=0$ para todos incluso a $i$. ¿Cómo puedo demostrar que $A$ es cero medir?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $F$ ser el conjunto de binarios $4$-tuplas $(a,b,c,d)$ de tal manera que uno de los siguientes se tiene: i) $a =0,$ o ii) $a = 1$ $c = 0.$ Nota de que hay exactamente $12$ diferentes $4$-tuplas en $F.$
Definir $A'$ para el conjunto de la $a\in [0,1]$ cuyo binario de expansión $.a_1 a_2 \cdots$ es tal que todos los de la $4$-tuplas $(a_1,a_2,a_3,a_4),$ $(a_5,a_6,a_7,a_8),$ $(a_9,a_{10},a_{11},a_{12}),\dots$ pertenecen a $F.$
A continuación,$A\subset A'.$, Lo que es suficiente para mostrar la $m(A') = 0.$
Ahora$m(2^4A') = 2^4m(A').$, Pero tenga en cuenta que debido a el periódico de la naturaleza de $A',$ $2^4A'$ es el pares distintos de la unión de $12$ conjuntos, cada uno de los cuales tiene la forma $n+A',$ donde $n$ es un entero positivo. Así
$$2^4m(A') = 16m(A') = 12m(A').$$
De ello se desprende que $m(A')=0$ como se desee.
