Equidistribución resultados vs trascendencia grado

Question

Considere la posibilidad de $\alpha =(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$ linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, entonces el mapa de $q \mapsto q \alpha:= ( q \alpha_1, \dots, q \alpha_n)$ da una densa incorporación de la $\mathbb{Z}$ $n$ toro, es decir,$\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$, en realidad aún más: se convierte en equidistributed en el siguiente sentido $$\frac{1}{N}\sum\limits_{k \leq N} f(k\alpha) \rightarrow \int\limits_{\mathbb{R^N} / \mathbb{Z}^n} f( x) \mathrm{d} x,$$ donde $\mathrm{d} x$ denota la Haarmeasure. Un resultado similar se cumple para la $\infty$ toro como un bien.

¿Qué se puede decir acerca de la tasa de convergencia aquí? Para $n=1$, podemos distinguir si $\alpha_1$ es trascendental o algebraicas a partir del término de error?

Motivación: trato de que se entienda eficaz de la versión de la universalidad teoremas de L funciones, véase, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_universality.

Answer 1

La tasa de convergencia es la relativa a la discrepancia. Koksma la desigualdad dice que si $f$ es de variación acotada $V(f)$, e $x_1,\dots,x_n$ son los puntos en $[0,1)$ con discrepancia $D_n$, $$\left|{1\over n}\sum_1^nf(x_i)-\int_0^1f(t)\,dt\right|\le V(f)D_n$ $

La discrepancia, a su vez, es una medida de la salida de unifomity de distribución. Es definido por $$D_n=\sup_{0\lt a\le1}\left|{1\over n}\#\lbrace i\le n:x_i\lt a\rbrace-a\right|$$

La discrepancia de la secuencia de las fracciones de $\alpha,2\alpha,3\alpha,\dots,n\alpha$ está estrechamente relacionado con el parcial de cocientes en la continuidad de la fracción de expansión de $\alpha$. Para algebraicas irrationals se sabe que $nD_n=O(n^{\epsilon})$ por cada $\epsilon\gt0$. Pero no sabemos lo suficiente sobre fracciones continuas para distinguir trascendentales de algebraics (en general), por lo que, en general, no creo que usted será capaz de distinguuish las dos clases por la convergencia de las tasas.

Todo esto se generaliza a dimensiones superiores y ha sido estudiado en detalle. Sólo he presentado la punta del iceberg. Para más información, consulte Kuipers y Niederreiter, la Distribución Uniforme de las Secuencias.