Tenemos un tanque cilíndrico con radio de 2m de longitud y 10 m de lleno con agua. Cuánto trabajo hace que el tanque de la bomba de agua del tanque de la parte superior?
Mi intento, el problema va como sigue.
$g$ es la gravedad $9.8\, m/s^2$, la densidad del agua es $1000\, kg/m^3$.
Deje $x$ ser la distancia desde la parte superior del tanque. El ancho de un general de la sección transversal del tanque es $w = 2\sqrt{4 - (2 - x)^2} = 2\sqrt{4x - x^2}$. Por lo tanto el volumen de la sección transversal es $V^* = 20\sqrt{4x - x^2}\Delta x$.
El trabajo requerido para bombear esta sección es $W^* = (20,000g)x\sqrt{4x - x^2}\Delta x$.
Por lo tanto, el trabajo total de la bomba, el tanque debe ser
$$W = 20,000g \int_0^4 x\sqrt{4x - x^2}dx.$$
Wolfram alpha me dice que la integral de aquí es $4\pi$, lo que parece una buena respuesta suficientemente. Sin embargo, mi cálculo es muy oxidado. Un simple u-sub no parece funcionar muy bien aquí. Hay otra técnica de integración que yo debería usar? Gracias.
Edit: (Gracias a André Nicolas) El tratamiento de todo como el centro de masa es mucho más fácil, pero para la integridad me fui por delante y resolver la integral. Gracias por la ayuda.
$$W = \int_0^4 x\sqrt{4 - (2 - x)^2} dx$$ Deje $u = 2 - x$, lo $du = -dx$. $$W = \int_{-2}^2 (2 - u)\sqrt{4 - u^2} du = 2\int_{-2}^2 \sqrt{4 - u^2}du + \int_{-2}^2 u\sqrt{4 - u^2}du$$
Para la primera integral dejamos $u = 2\sin v$, lo $du = 2\cos vdv$. $$2\int_{-2}^2\sqrt{4 - u^2} = 8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2 v}\cos v dv = 8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 v dv = 8\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2v)}{2}dv$$ $$ = 8(\frac{v}{2} + \frac{\sin(2v)}{4} |_{-\pi/2}^{\pi/2}) = 4\pi.$$
Para la segunda integral, cuenta que es una función impar. Ya que estamos de la integración de $-2$ a 2, los intervalos de $(-2, 0)$ $(0, 2)$ cancelar el eachother, por lo que tenemos $$\int_{-2}^2 u\sqrt{4 - u^2}du = 0.$$
Por lo tanto $W = 20,000g (4\pi)\,J$ o $80,000\pi g\, J$.
Edit 2:
Como alternativa para la primera integral, podemos evitar el trig sub notando $\int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$ es el área debajo de un círculo de radio 2, con lo $2\int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2} dx = 2 \cdot (1/2)\cdot (\pi 2^2) = 4\pi$.
