Arquímedes De La Propiedad

Question

Demostrar que para todo número real $y>0$, $$\bigcap_{n=1}^{\infty} (0, y/n] = \emptyset$$

Así que esto significaría que $0< x \leq y/n$ para cada entero positivo $n$, lo que contradice la Archimdean propiedad?

Answer 1

Nada de malo con la prueba por contradicción, pero sólo para no ser contrario permítanme dar una prueba directa de que el arquímedes de propiedad implica la intersección es vacía.

Tenga en cuenta que $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(0,y/n]\subseteq (0,y]$. Por lo tanto, $$\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,y/n] = \left(\cap_{n=1}^{\infty}(0,y/n]\right)\cap(0,y].$$ Ahora vamos a $x\in (0,y]$. Por el Arquímedes de la propiedad, ya que $0\lt x$ $0\lt y$ existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $kx\gt y$. Por lo tanto, $x\gt y/k$, lo $x\notin (0,y/k]$. Desde $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(0,y/n]\subseteq (0,y/k]$, llegamos a la conclusión de que $x\notin \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(0,y/n]$.

Que es: por cada $x$, $x\in (0,y]$ implica $x\notin \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(0,y/n]$. Por lo tanto, $$\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,y/n]\right)\cap (0,y] = \emptyset.$$ Por lo tanto, $$\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,y/n] = \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,y/n]\right)\cap(0,y] = \emptyset,$$ demostrando la intersección es vacía.

Answer 2

De hecho, si $x\in\bigcap_{n=1}^\infty (0,y/n]$ a continuación, para cada $n\in\mathbb N$ tenemos que $0<x\le y/(n+1)<y/n$.

Que es para cada $n\in\mathbb N$ tenemos $0<x<y/n$, ya que el $\lim_{n\to\infty}y/n = 0$ tenemos que cada positivos real número es menor que sólo un número finito de $y/n$.

El $x$ como en el anterior no tiene esta propiedad, y de hecho va a ser un no-Arquímedes número infinitesimal.