Si $G$ es un grupo de orden $250,000 = 2^4 5^6$, muestran que $G$ no es simple.

Question

Si $G$ es un grupo de orden $250,000 = 2^4 5^6$, muestran que $G$ no es simple.

Por el teorema de Sylow, tenemos que el número de $2$-subgrupos de sylow $G$ $n_2$ que se cumpla que $$ n_2 \equiv1\mod2\mbox{ y } n_2\mid5^6 $$ Asimismo, para $n_5$ tenemos, $$ n_5 \equiv1\mod5\mbox{ y } n_5\mid2^4 $$ Por lo tanto, $$ n_2 \en \{1,5,5^2,5^3,5^4,5^5,5^6\}, \mbox{ y } n_5 \in \{1,16\} $$

Pero suponiendo que ninguno de los $n_p'$s son uno y el uso de los teoremas de sylow, yo no puedo superar el orden de $G$ ya que el profesor nos muestran en clase con un ejemplo. Ahora estoy bastante seguro de que voy a necesitar otro enfoque, pero nada viene a mi mente. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Como estado, $n_5$ es $1$ o $16$. Si es la primera, hemos terminado. Si es $16$, entonces no es un homomorphism de $G\to S_{16}$ dado por el hecho de que $G$ actúa en el $5$-subgrupos de sylow por conjugación. Pero aviso que la factorización prima de $|S_{16}|=16!$ contiene exactamente tres copias de $5$ (procedente de la $5$, $10$ y $15$), pero $|G|=2^45^6$ contiene seis copias de $5$. Así que este homomorphism no puede ser inyectiva, de modo que es el núcleo es un subgrupo normal de $G$. Por lo $G$ no es simple.

Esto explica el conocido aforismo de que "Grupos, como los hombres, será conocido por sus acciones".

Answer 2

Si $n_5=1$, por lo que se hace.

Si $n_5=16$, tomar uno de estos 5-subgrupo $H$. Su índice es $2^4=16$. El índice normal de su core $Core (H) $, por bien conocida del teorema de Poincaré, divide $16! $, por eso se divide $\gcd (2^45^6,16!)=2^45^3$. En otras palabras, $Core (H) $ es de índice en la mayoría de las $2^45^3$, por lo que no puede ser trivial - esto le da un trivial normal subgrupo de $G$.