Si tengo 8 bolas rojas y 8 bolas azules, ¿cuál es el número total de arreglos posibles, donde cada fila y cada columna tiene 2 rojas y 2 bolas azules en una cuadrícula de 4x4?
¿Cómo será esta respuesta difieren si todas las bolas eran distintos?
Para la primera parte, una idea era encontrar las soluciones a $\sum_{i = 1}^4 x_{ij}= 0$, $j = 1, \cdots, 4$, $\sum_{j = 1}^4 x_{ij} = 0$, $i = 1, \cdots, 4$ donde $x_{**} = \pm 1$, pero que no parece fácil de resolver.
Podemos ignorar las pelotas azules y sólo tiene que colocar dos bolas rojas en cada fila y columna.
Coloca dos bolas en la primera columna, $\binom 42 = 6$ opciones.
Eligió la columna que sostiene a la otra bola de la fila inferior, $\binom 31 =3$ opciones.
A continuación, $2$ de los casos:
Así tenemos a $6\times 3\times (1+2\times 2) = 90$ opciones para colocar las bolas rojas.
Si las bolas son todos distintos, simplemente elige una bola para cada espacio en la sucesión y obtenga $16!$ opciones.
No puedo ver ningún método mejor que contar de forma sistemática. El sistema dispone de ecuaciones en 16 incógnitas, por lo que incluso si tratas de resolver sobre el campo con dos elementos, para cuidar de $x_{ij} = \pm 1,$ no hay mucha esperanza.
Hay 6 posibles arreglos para una fila:
Tenga en cuenta que los tres últimos son "recíproca" de los tres primeros, obtenidos mediante el intercambio de rojo y azul. Desde la primera columna tiene dos rojos y dos azules, debemos elegir dos filas de la primera de tres, y dos filas de los últimos tres.
Cuando elegimos las dos filas el inicio de la R, se puede elegir la misma fila dos veces, o elegir dos filas diferentes. Si elegimos la misma fila dos veces, luego de un momento de reflexión muestra también tenemos que elegir la inversa dos veces. Tenemos seis maneras de organizar las dos copias de la fila y su inversa, y tres maneras de escoger la fila, así que esto da $18$ formas si elegimos la misma fila dos veces.
Ahora supongamos que elegimos la fila 1 y la fila 2. Entonces tenemos dos rojos en la columna 1, 2 azules en la columna 4, y una azul y una roja en las columnas 2 y 3. Para cumplir con las condiciones, debemos seleccionar las filas 4 y 5. Hay 24 maneras de organizar estos 4 filas. Un análisis similar se muestra obtiene cada vez que escogemos dos filas diferentes de entre los primeros 3 (ver esto), así que tenemos $72$ arreglos, dando un total de $90$ arreglos.
Aviso que este análisis muestra que cada vez que elegimos una fila, también se deben seleccionar su inversa. Probablemente, hay una forma rápida de ver que a la vez, lo que acortaría el argumento.
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