Calcular $\int\frac{x}{x+1}dx$

Question

Mi libro de texto se utiliza el siguiente método:

$$\int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{x +1-1}{x+1}dx=\int 1-\frac{1}{x+1}=x-\ln|x+1|$$

Parecía obvio después de ver solucionado, pero yo no detectar que el primer paso de la división de la fracción.

Así que lo intentó con u substitución:

$u = x+1$
$x = u-1$
$dx = du$

$$\int \frac{u-1}{u} du = \int 1-\frac{1}{u}=u-\ln|u| = (x+1) - \ln|x+1|$$

Las dos expresiones después de usar subsitution son equivalentes, ¿no?

$$\int \frac{u-1}{u} = \int \frac{x +1-1}{x+1}$$

Así, al hacer la sustitución u, parece que estoy llegando a la misma etapa en la que se divide la fracción. ¿Alguien puede explicar lo que estoy haciendo mal?

Gracias de antemano

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{x +1-1}{x+1}dx=\int 1-\frac{1}{x+1}=x-\ln|x+1|\color{red}{+C}$$

Answer 2

Las dos expresiones que figuran por encima de ie (x+1) - log(x+1) +C y a x - log(x+1)+C, son en realidad el mismo y la igualdad, porque, en la primera expresión se puede considerar simplemente el (+1) como parte de la constante arbitraria C.

Desde entonces, el indefinido integrales representan a la familia de curvas y no la ecuación exacta, AMBAS EXPRESIONES SE considerará DE LA MISMA FAMILIA y por ende de la misma. Gracias por preguntar compañero!