La intuición de ángulo entre dos planos

Question

Vamos a theta ser el ángulo entre dos planos (ver la imagen). Me han dicho que ∠AKB=∠q si y sólo si AK es perpendicular a MN y KB es también perpendicular a MN (donde MN representa la línea de donde los dos planos que se cortan).

Mi pregunta es, ¿por qué θ será igual sólo cuando el ángulo es creado con dos perpendiculares (AK y KB) en MN (que intuitivamente tiene sentido), y también por qué no ∠LKB también igual a la ∠θ (que intuitivamente no tiene sentido)?

Answer 1

Simplemente porque el avión AKB contiene los vectores normales a los planos en K, que son ortogonales a MN y que, por definición, identificar el ángulo/s entre los planos.

Answer 2

La medida de un ángulo diedro se define como la medida del ángulo que es la intersección del ángulo diedro con un plano perpendicular a su borde. Esta definición tiene sentido, porque es fácil probar que todos los ángulos son congruentes entre ellos.

Los ángulos cuyos lados no son perpendiculares al diedro de borde son, en general, diferentes. Deje $AB$ $CB$ ser perpendicular a $B$ hasta el borde; si $\theta=\angle ABC$ a continuación, de la ley del coseno tenemos (ver diagrama a continuación): $$ \cos\theta={AB^2+BC^2-AC^2\over2\AB\cdot BC}. $$ Vamos ahora a $AD$ ser paralelo a la orilla y $\phi=\angle DBC$. Observe que $AD$ es perpendicular al plano de la $ABC$, por lo tanto $AD\perp AC$$AD\perp AB$. Desde el coseno de la ley tenemos: $$ \cos\phi={DB^2+BC^2-DC^2\over2\DB\cdot BC}. $$ Pero $DC^2=AC^2+AD^2$$DB^2=AB^2+AD^2$, por lo tanto: $$ \cos\phi={AB^2+BC^2-AC^2\over2\DB\cdot BC}={AB\más de DB}\cos\theta. $$ Si sigue ese $|\cos\phi|<|\cos\theta|$, a menos que $\cos\theta=0$, es decir,$\theta=90°$.