Mostrar que $(S_t - M_t) \phi(S_t) = \Phi(S_t) - \int_{0}^{t} \phi(S_s) dM_s$
(Esto es de Le Gall del libro, el Movimiento Browniano, Martingales, y Estocástico de Cálculo.)
Aquí, $M$ es un continuo martingala local, $S_t = \sup_{0 \leq s \leq t} M_s$, $\phi$ es dos veces continuamente diferenciable función, y $\Phi(x) = \int_0^x \phi(t)dt$.
En las partes anteriores de esta pregunta, me mostró que, para una función continua $m$$s(t) = \sup_{0 \leq s \leq t} m(s)$, y por cada delimitada Borel función de $h$, la de Riemann-Stieltjes integral
$$\int_0^t (s(r) - m(r)) h(r) ds(r) = 0$$
También me mostró (creo)
$$\phi(S_t) = \phi(S_0) + \int_0^t \phi'(S_s)dS_s$$
Lamentablemente yo no puedo identificar la manera en que cada uno de estos hechos podrían ayudar con esta pregunta, entonces, he seguido un curso diferente.
Mi idea es argumentar que $(\phi(S) \cdot M)_t$ (donde $(H \cdot M)_t = \int_0^t H(s) dM_s$ es una integral estocástica) satisface
$$\langle \phi(S) \cdot M, N\rangle_t = (\phi(S))_t \cdot \langle M, N \rangle_t$$ $\forall N$ ($N$ is a cont. local m'gale) and that $\left(\Phi(S) - (S - M) \phi(S)\right)_t$ also satisfies this, so by uniqueless, $(\phi(S) \cdot M)_t = \left(\Phi(S) - (S - M) \phi(S)\right)_t$. ($\langle M, N\rangle_t$ is the quadratic variation between the cont. local martingales $M$ and $N$ and $H \cdot \langle M, N \rangle = \int_0^t H(s) d\langle M, N \rangle_s$ es Riemann-Stieltjes integral.)
El trabajo es demostrar que $\left(\Phi(S) - (S - M) \phi(S)\right)_t$ satisface esta relación. Ya que para una secuencia de particiones con malla tiende a cero tenemos
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{p_n - 1} (M_{t_{i + 1}^n} - M_{t_i^n})(N_{t_{i + 1}^n} - N_{t_i^n}) = \langle M, N \rangle_t$$
Yo pensaba que iba a tratar de calcular de manera directa. La aplicación de una media-teorema del valor tenemos que:
$$\Phi(S_{t_{i + 1}^n}) - \Phi(S_{t_i^n}) = \phi(S_{t_i^n} + c_i^n S_{t_{i + 1}^n})(S_{t_{i + 1}^n} - S_{t_i^n})$$
($c_i^n \in [0,1]$.)
Escribo
$$\Phi(S_{t_{i + 1}^n}) - \Phi(S_{t_i^n}) - (\phi(S_{t_{i + 1}^n})S_{t_{i + 1}^n} - \phi(S_{t_{i}^n})S_{t_{i}^n}) + \phi(S_{t_{i + 1}^n}) M_{t_{i + 1}^n} - \phi(S_{t_{i}^n})M_{t_i^n}$$
Este será multiplicado por el $N_{t_{i + 1}^n} - N_{t_i^n}$ en la suma cuyo límite es la variación cuadrática entre los dos procesos. Me doy cuenta de que
$$\Phi(S_{t_{i + 1}^n}) - \Phi(S_{t_i^n}) - (\phi(S_{t_{i + 1}^n})S_{t_{i + 1}^n} - \phi(S_{t_{i}^n})S_{t_{i}^n}) = \phi(S_{t_i^n} + c_i^n S_{t_{i + 1}^n})(S_{t_{i + 1}^n} - S_{t_i^n}) - (\phi(S_{t_{i + 1}^n})S_{t_{i + 1}^n} - \phi(S_{t_{i}^n})S_{t_{i}^n}) \approx 0$$
Esto debería mantener para todos los $i$ grandes $n$ desde la malla de la partición tiende a cero. Por lo tanto una reescritura simplifica la expresión anterior para
$$\phi(S_{t_{i + 1}^n}) M_{t_{i + 1}^n} - \phi(S_{t_{i}^n})M_{t_i^n} \approx \phi(S_{t_i^n}) (M_{t_{i + 1}^n} - M_{t_i^n})$$
Así que ahora considero
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{p_n - 1} \phi(S_{t_i^n}) (M_{t_{i + 1}^n} - M_{t_i^n}) (N_{t_{i + 1}^n} - N_{t_i^n})$$
Si puedo creer que $(M_{t_{i + 1}^n} - M_{t_i^n}) (N_{t_{i + 1}^n} - N_{t_i^n}) \approx \langle M, N \rangle_{t_{i + 1}^n} - \langle M, N \rangle_{t_i^n}$, entonces yo sería la de arriba un poco de ser aproximadamente
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{p_n - 1} \phi(S_{t_i^n}) (\langle M, N \rangle_{t_{i + 1}^n} - \langle M, N \rangle_{t_i^n}) = \int_0^t \phi(S_s) d\langle M, N \rangle_s = (\phi(S))_t \cdot \langle M, N \rangle_t$$
Entonces yo habría establecido lo que yo quiero.
Para una cosa, yo uso $\approx$ mucho y no se cómo se escribe una rigurosa prueba (al menos no sin una definición adecuada), y yo no sé ni si $(M_{t_{i + 1}^n} - M_{t_i^n}) (N_{t_{i + 1}^n} - N_{t_i^n}) \approx \langle M, N \rangle_{t_{i + 1}^n} - \langle M, N \rangle_{t_i^n}$. Esto también parece duro, más de lo que debería ser. Así que, estoy haciendo lo correcto? ¿Cómo puedo hacer que mi argumento riguroso, o hay una manera más fácil?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En esta respuesta que presente una prueba de que los usos de los hechos que usted menciona en la primera parte de su pregunta.
Por la fórmula de Itô, tenemos
$$M_t \phi(S_t) = \int_0^t \phi(S_s) \,d M_s + \int_0^t M_s \phi'(S_s) \, dS_s \tag{1}$$
y
$$S_t \phi(S_t) = \int_0^t (\phi(S_s)+S_s \phi'(S_s)) \, dS_s. \tag{2}$$
(Tenga en cuenta que la fórmula de Itô es aplicable debido a que $t \mapsto S_t$ es creciente, y por lo tanto de variación acotada. No hay cuadrática covariación plazo $[S,M]$ desde $M$ tiene la muestra continua de los caminos y de $S$ es de variación acotada.) La combinación de $(1)$$(2)$, nos encontramos con
$$(S_t-M_t) \phi(S_t) = - \int_0^t \phi(S_s) \, dM_s + \int_0^t \big[ \phi(S_s) + (S_s-M_s) \phi'(S_s) \big] dS_s. $$
Usando la identidad (que ya demostró)
$$\int_0^t (s(r)-m(r)) h(r) \, ds(r)=0$$
para $m(r) := M_r(\omega)$, $s(r) := \sup_{u \leq r} M_u(\omega)$ y $h(r) = \phi'(S_r(\omega))$, obtenemos
$$(S_t-M_t) \phi(S_t) = - \int_0^t \phi(S_s) \, dM_s + \int_0^t \phi(S_s) \, dS_s.$$
Por último, tenga en cuenta que
$$\Phi(S_t) = \Phi(S_0) + \int_0^t \Phi'(S_s) \, dS_s = \int_0^t \phi(S_s) \, dS_s$$
(esto se deduce de la segunda identidad que usted ha mencionado, con $\phi$ reemplazado por $\Phi$, o puede utilizar la fórmula de Itô). En consecuencia, llegamos a la conclusión de que
$$(S_t-M_t) \phi(S_t) = - \int_0^t \phi(S_s) \, dM_s + \Phi(S_t).$$
