Mientras estudiaba para un examen en análisis complejo, me encontré con este problema. Lamentablemente no pude resolverlo. Cualquier ayuda sería mucho apreció.
Que $U ⊂ \mathbb{C}$ ser $f_1, . . . , f_n : U \rightarrow \mathbb{C}$holomorphic funciones dominio y %, que es constante en $\sum_{k=1}^n \left| f_k(z) \right|$ $U$. Muestran que $f_1, . . . , f_n$ constante.
Por simplicidad, consideremos $n=2$. En $U$, $|f|+|g|=C$ para algunas constantes. Fijar un punto de $z_0$$U$. Entonces, para elegir adecuadamente unimodular constantes
$$|\alpha f(z_0) +\beta g(z_0)|=|f(z_0)|+|g(z_0)|=C.$$
Esto significa que el holomorphic función de $\alpha f(z) +\beta g(z)$ alcanza su máximo en $U$ (desde el supremum en $U$ es en la mayoría de las $C$ por la desigualdad de triángulo, y se llega a $C$), por lo que es una constante. Así que para todos los $z$, tenemos
$$|\alpha f(z) +\beta g(z)|=|f(z)|+|g(z)|.$$
La igualdad sólo es posible en el triángulo de la desigualdad de todos los vectores apuntan en la misma dirección. Por lo $c(z)\alpha f(z) = \beta g(z)$ de holomorphic $c(z)$. Pero desde que real holomorphic funciones son constantes, $c$ es constante. A continuación,$\alpha f(z) +\beta g(z)=(1+c)(\alpha f)$, y el último es un holomorphic función que alcanza su máximo en $U$, por lo que es constante. Por lo $f$ es constante, y se deduce que $g$ es constante.
El resultado sería más fácil demostrar si queremos tener como supuesto de que $\sum_{j=1}^n|f_j|^{\color{red}2}$ es constante (luego nos tomamos la derivada, y el uso de Cauchy-Riemann ecuaciones, o como Julien sugieren, el Laplaciano).
Para tratar con este caso, considere la posibilidad de $z_0\in U$ $r>0$ tal que $B(z_0,r)$ contiene ninguno de los ceros de la $f_k$ (si uno es $0$, eliminarlo, y en una pelota que hay un número finito de ceros de $f_k$). A continuación, en esta pelota, usando una determinación de logaritmo, podemos encontrar para cada $k$, $g_k$ tal que $f_k=g_k^2$ $B(z_0,r)$ algunos $g\in\mathcal O(B(z_0,r))$.
Hemos de conseguir que cada una de las $g_k$ es constante en $B(z_0,r)$ (por lo tanto también lo es cada una de las $f_k$) y llegamos a la conclusión de invocar de nuevo el principio de los aislados de ceros (y de la conectividad de $U$).
Aquí es un enfoque diferente en la solución: Deje $c = \sum_{i=1}^n |f_i| $ donde c es una constante. Para cualquier holomorphic función de $f$ tenemos el valor medio teorema como $$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta}) d\theta \\ \implica |f(z_0)| \leq \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{2\pi} |f(z_0 + re^{i\theta})| d\theta$$ Por lo tanto $|f|$ es subarmónicos y también a $-|f|$ es superharmonic. Ahora sabemos que, $ |f_1| = c - \sum_{i=2}^n |f_i|$. Esto significa que $|f_1|$ es tanto subarmónicos así como superharmonic o en otras palabras $|f_1|$ es armónico.
Por lo tanto el problema se reduce a mostrar que si el módulo de un holomorphic función es armónica, entonces es una constante. Esto puede ser demostrado de varias maneras.
1) Una de las formas sería tenga en cuenta que $|f|$ seguiría el valor medio teorema de sí mismo. Por lo tanto $$ |f(z_0)| = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{2\pi} |f(z_0 + re^{i\theta})| d\theta $$ Como esto es cierto para cualquier $r>0$$D(z_0,r)$, por lo tanto $ |f(z_0 + re^{i\theta})| = |f|$ es independiente de $r = |z-z_0|$. Esto significa que en todos los rayos que emanan de $z_0$, $|f|$ sería constante. Esto violaría el valor máximo teorema de $f$ menos que sea una constante.
2) Un segundo enfoque es esta: Si $f$ no es constante, entonces la derivada $f'$ ha aislado ceros. En un pequeño disco lejos de los ceros de $f'$, la función de $f$ tiene un holomorphic inversa. La composición de una función armónica con un holomorphic función es de nuevo armónica, para componer con $f^{-1}$ reduce el problema a mostrar que la función de $|z|$ no es armónica en una vecindad del origen. Pero esta conclusión es evidente, ya que $|z|$ alcanza un mínimo global en el origen.
Ahora que hemos mostrado $|f_1|$ es una constante, podemos seguir repitiendo el proceso con el $f_i$ $\tilde{c} = \sum_{i=2}^n |f_i|$ a mostrar que cada una de las $f_i$ es una constante.
Para completar @Papa es la solución, en la que él/ella hizo lo $n=2$ de los casos, aquí es cómo la inducción de paso se puede hacer (yo habría añadido esto como un comentario, pero es demasiado largo para publicarlo como un comentario):
Deje $n \geq 3$$|f_1(z)| + \dots + |f_n(z)|=C$. A continuación, podemos elegir una arbitraria $z_0 \in U$ y elija $w_1,\dots,w_n$ tal que $|f_i(z_0)| = w_i f_i (z_0)$, $|w_i| = 1$.
Entonces por la misma razón que el anterior (en la Patata de la respuesta), $g(z) = w_1 f_1(z) + \dots + w_n f_n(z)$ es constante en $U$ (por el principio del máximo debido a $|g(z)|$ alcanza un máximo en $z_0$.) De hecho, $g(z)=C$ todos los $z \in U$. Así $$C = |g(z)| \leq |w_1 f_1(z) + w_2 f_2(z)| + |f_3(z)| + \dots + |f_n(z)| \leq |f_1(z)| + \dots + |f_n(z)| = C$$ Así que por la inducción, la hipótesis de la $n-1$ funciones $(w_1 f_1 + w_2 f_2) , f_3 , \dots , f_n$ son constantes y teniendo en cuenta que el $(w_1 f_1(z_0) + w_2 f_2(z_0) ) = |f_1(z_0)| + |f_2(z_0)|$ podemos aplicar @Papa razonamiento de nuevo a la conclusión de que la $f_1$ $f_2$ son también constantes.
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