Supongamos que K:R≥0→R≥0 es una función decreciente. Si ν es una medida de probabilidad en el círculo unitario, defina su energía E(ν):=∫K(|x−y|)dν(x)dν(y). ¿Existe un argumento sencillo para demostrar que E es minimizado por la medida de Lebesgue (normalizada)? Supongamos, si es necesario, que K está acotado.
La idea obvia es tomar una medida, girarla y decir que la combinación lineal tiene menor energía. Pero esto parece requerir K para ser positiva definida, mientras que la afirmación parece ser cierta de forma más general.
Actualización: una observación potencialmente útil es que cualquier K puede aproximarse mediante combinaciones lineales positivas de funciones de la forma 1x≤a por lo que basta con demostrar el resultado para esta última.
Segunda actualización: Se ha dado un contraejemplo en la respuesta aceptada. Aun así, sería interesante ver una condición suficiente natural. Por ejemplo, ¿qué pasa si K es convexo (y |⋅| es la distancia geodésica en el círculo)?
0 votos
Usted afirma que ν es una medida en el círculo unitario, por lo que está tomando |x−y| para referirse a la distancia euclidiana? ¿O quiere decir que K es un núcleo invariante de traslación.
1 votos
Piense en la distancia euclidiana, o en la diferencia entre argumentos: todo se reduce a cambiar K por otra función decreciente
0 votos
Heurística: Piensa en esto como minimizar una forma cuadrática, νKν sobre el hiperplano de medidas con integral uno. Según Lagrange, el minimizador satisface Kν=constant function ya que las constantes son ortogonales al hiperplano. La medida de Lebesgue sí cumple esto.