Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

6 votos

¿La medida de Lebesgue como minimizador de energía?

Supongamos que K:R0R0 es una función decreciente. Si ν es una medida de probabilidad en el círculo unitario, defina su energía E(ν):=K(|xy|)dν(x)dν(y). ¿Existe un argumento sencillo para demostrar que E es minimizado por la medida de Lebesgue (normalizada)? Supongamos, si es necesario, que K está acotado.

La idea obvia es tomar una medida, girarla y decir que la combinación lineal tiene menor energía. Pero esto parece requerir K para ser positiva definida, mientras que la afirmación parece ser cierta de forma más general.

Actualización: una observación potencialmente útil es que cualquier K puede aproximarse mediante combinaciones lineales positivas de funciones de la forma 1xa por lo que basta con demostrar el resultado para esta última.

Segunda actualización: Se ha dado un contraejemplo en la respuesta aceptada. Aun así, sería interesante ver una condición suficiente natural. Por ejemplo, ¿qué pasa si K es convexo (y || es la distancia geodésica en el círculo)?

0 votos

Usted afirma que ν es una medida en el círculo unitario, por lo que está tomando |xy| para referirse a la distancia euclidiana? ¿O quiere decir que K es un núcleo invariante de traslación.

1 votos

Piense en la distancia euclidiana, o en la diferencia entre argumentos: todo se reduce a cambiar K por otra función decreciente

0 votos

Heurística: Piensa en esto como minimizar una forma cuadrática, νKν sobre el hiperplano de medidas con integral uno. Según Lagrange, el minimizador satisface Kν=constant function  ya que las constantes son ortogonales al hiperplano. La medida de Lebesgue sí cumple esto.

2voto

tyson blader Puntos 18

Un contraejemplo es K=1|x|<2 (donde || es la norma euclidiana) y ν=12(δ1+δ1). Esto da K(|xy|)dν(x)dν(y)=12 pero K(|xy|)dλ(x)dλ(y)=1 donde λ es la medida de Lebesgue normalizada en el círculo unitario.

Especial K

λ es un minimizador si K es semidefinida positiva como función en el círculo unitario. Hay un esbozo de prueba en la pregunta, o esto se puede demostrar aplicando el teorema de Bochner mirando la transformada de Fourier.

Si K es no creciente, convexo y || es la norma geodésica, entonces K es semidefinido positivo, por lo que λ es un minimizador. Basta con considerar la continuidad de K. Estos pueden ser aproximados por una función convexa lineal no creciente a trozos. Se pueden escribir como una combinación no negativa de K(x)=max Pero \max(0,c-|x|) es semidefinida positiva como función en el círculo unitario - es la convolución 1_{x\leq c/2}*1_{x\leq c/2}.

1 votos

@Kostya_l: He añadido un argumento para la convexidad K

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X