¿La medida de Lebesgue como minimizador de energía?

Question

Supongamos que $K:\mathbb{R}_{\geq0} \to\mathbb{R}_{\geq0}$ es una función decreciente. Si $\nu$ es una medida de probabilidad en el círculo unitario, defina su energía $$ \mathcal{E}(\nu):=\int K(|x-y|)d\nu(x)d\nu(y). $$ ¿Existe un argumento sencillo para demostrar que $\mathcal{E}$ es minimizado por la medida de Lebesgue (normalizada)? Supongamos, si es necesario, que $K$ está acotado.

La idea obvia es tomar una medida, girarla y decir que la combinación lineal tiene menor energía. Pero esto parece requerir $K$ para ser positiva definida, mientras que la afirmación parece ser cierta de forma más general.

Actualización: una observación potencialmente útil es que cualquier $K$ puede aproximarse mediante combinaciones lineales positivas de funciones de la forma $\mathbb{1}_{x\leq a}$ por lo que basta con demostrar el resultado para esta última.

Segunda actualización: Se ha dado un contraejemplo en la respuesta aceptada. Aun así, sería interesante ver una condición suficiente natural. Por ejemplo, ¿qué pasa si $K$ es convexo (y $|\cdot|$ es la distancia geodésica en el círculo)?

Answer 1

Un contraejemplo es $K=1_{|x|< 2}$ (donde $|\cdot|$ es la norma euclidiana) y $\nu=\tfrac12(\delta_1+\delta_{-1}).$ Esto da $$\int K(|x-y|)d\nu(x)d\nu(y)=\tfrac12$$ pero $$\int K(|x-y|)d\lambda(x)d\lambda(y)=1$$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue normalizada en el círculo unitario.

Especial $K$

$\lambda$ es un minimizador si $K$ es semidefinida positiva como función en el círculo unitario. Hay un esbozo de prueba en la pregunta, o esto se puede demostrar aplicando el teorema de Bochner mirando la transformada de Fourier.

Si $K$ es no creciente, convexo y $|\cdot|$ es la norma geodésica, entonces $K$ es semidefinido positivo, por lo que $\lambda$ es un minimizador. Basta con considerar la continuidad de $K.$ Estos pueden ser aproximados por una función convexa lineal no creciente a trozos. Se pueden escribir como una combinación no negativa de $K(x)=\max(0,c-|x|).$ Pero $\max(0,c-|x|)$ es semidefinida positiva como función en el círculo unitario - es la convolución $1_{x\leq c/2}*1_{x\leq c/2}.$