Si $A$ es un uno mismo-adjoint operador . Es $\|A^n\|=\|A\|^n,\;\forall n$?

Question

Deje $E$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert complejo.

Deje $A\in \mathcal{L}(E)$ ser un auto-adjunto del operador decir $A^*=A$, es $$\|A^n\|=\|A\|^n,\;\forall n\in \mathbb{N}?$$

Tenga en cuenta que si $A$ es auto-adjunto, a continuación, $$\|A\|=\sup\left\{|\langle Ax, x\rangle|\,;\;x\in E,\;\|x\|= 1\right\}.$$

Es bien sabido que si $T\in \mathcal{L}(E)$, luego $$\|T^*T\|=\|T\|^2.$$ Así que desde $A$ es auto-adjunto, a continuación, $$\|A^2\|=\|A\|^2.$$ Trato de mostrar el resultado por inducción.

Answer 1

Se sabe que todos los elementos en el espectro de un selfadjoint operador son aproximados autovalores. De modo que existe una secuencia $\{x_j\}$ $\|x_j\|=1$ todos los $j$$Ax_j-\|A\|\,x_j\to0$.

Ahora procedemos por inducción sobre $n$. Si $A^nx_j-\|A\|^nx_j\to0$, luego $$ A^{n+1}x_j-\|\|^{n+1}x_j=A(A^nx_j-\|\|^nx_j)+\|\|^n(Ax_j-\|\|x_j)\to0. $$ De ello se desprende que, para cada $n$, $A^nx_n-\|A^n\|x_j\to0$. Esto implica que $A^n-\|A\|^nI$ a no es invertible, que es $\|A\|^n\in\sigma(A^n)$. Pero, a continuación, $$ \|\|^N\leq\|A^n\|, $$ que es el no-trivial de la desigualdad. Por lo tanto, $\|A^n\|=\|A\|^n$ todos los $n$.

Answer 2

El espectro de radio teorema dice que para cualquier auto-adjunto del operador $$ \lVert Un \rVert = \sup_{\lambda \en \sigma(Un)} \lvert \lambda \rvert, $$ donde $\sigma(A)$ indica el espectro de $A$. Usando ese $f(\sigma(A)) = \sigma(f(A))$ para cualquier función continua $f$$\sigma(A)$, se obtiene el resultado deseado.